Упр.32.37 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\frac{4-x^2}{2x-3y-6}\ge 0$$; б) $$\frac{x^2+y^2-4}{|x|+|y|-2}\le 0$$.

а) Рассмотрим неравенство

$$\frac{4-x^2}{2x+3y-6}\ge 0.$$

Дробь неотрицательна тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель одного знака или числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Получаем две системы:

$$\begin{cases} 4-x^2\ge 0,\\ 2x+3y-6>0 \end{cases} \qquad \begin{cases} 4-x^2\le 0,\\ 2x+3y-6<0 \end{cases}$$

Из первой системы:

$$4-x^2\ge 0 \iff -2\le x\le 2,$$

$$2x+3y-6>0 \iff y>-\frac23x+2.$$

Из второй системы:

$$4-x^2\le 0 \iff x\le -2 \ \text{или}\ x\ge 2,$$

$$2x+3y-6<0 \iff y<-\frac23x+2.$$

Итак, искомое множество — объединение областей:

$$\left\{ \begin{aligned} -2\le x\le 2,\\ y>-\frac23x+2 \end{aligned} \right. \quad \cup \quad \left\{ \begin{aligned} x\le -2 \ \text{или}\ x\ge 2,\\ y<-\frac23x+2 \end{aligned} \right.$$

Граница $$2x+3y-6=0$$ не входит, а прямые $$x=-2$$ и $$x=2$$ входят.

б) Рассмотрим неравенство

$$\frac{x^2+y^2-4}{|x|+|y|-2}\le 0.$$

Дробь неположительна, если числитель и знаменатель разных знаков или числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Поэтому нужно рассмотреть две системы:

$$\begin{cases} x^2+y^2-4\le 0,\\ |x|+|y|-2>0 \end{cases} \qquad \begin{cases} x^2+y^2-4\ge 0,\\ |x|+|y|-2<0 \end{cases}$$

Вторая система решений не имеет, так как из неравенства $$|x|+|y|<2$$ следует $$x^2+y^2<4,$$ а значит, одновременно $$x^2+y^2\ge 4$$ быть не может.

Остается первая система:

$$\begin{cases} x^2+y^2\le 4,\\ |x|+|y|>2 \end{cases}$$

Следовательно, искомое множество — часть круга $$x^2+y^2\le 4$$ вне ромба $$|x|+|y|\le 2.$$

Ответ

а) $$\left\{\begin{aligned}-2\le x\le 2,\\ y>-\frac23x+2\end{aligned}\right.\cup\left\{\begin{aligned}x\le -2\ \text{или}\ x\ge 2,\\ y<-\frac23x+2\end{aligned}\right.$$

б) $$\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 4,\ |x|+|y|>2\}.$$