Упр.32.34 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) При $$x>0$$ неравенство $$xy\le 2$$ равносильно неравенству $$y\le \frac{2}{x}$$.

При $$x<0$$ при делении на отрицательное число знак неравенства меняется:

$$y\ge \frac{2}{x}.$$

При $$x=0$$ получаем $$0\le 2$$, значит, подходят все значения $$y$$.

Итак, множество решений — все точки, лежащие на гиперболе $$y=\frac{2}{x}$$ и по разные стороны от неё в зависимости от знака $$x$$, а также вся прямая $$x=0$$.

б) Неравенство $$y<\frac{2}{|x|}$$ имеет смысл при $$x\ne 0$$.

Так как $$|x|>0$$, то

$$y<\frac{2}{x} \quad \text{при } x>0,$$

$$y<-\frac{2}{x} \quad \text{при } x<0.$$

Граница задаётся графиком $$y=\frac{2}{|x|}$$, а решение — все точки ниже этого графика, без самой границы.

в) Неравенство $$|x|\cdot y<2$$.

Если $$y>0$$, то можно разделить на $$y$$:

$$|x|<\frac{2}{y}.$$

Если $$y=0$$, то получаем $$0<2$$, значит, подходят все $$x$$.

Если $$y<0$$, то левая часть $$|x|\cdot y\le 0$$, а значит, неравенство выполняется при любых $$x$$.

Следовательно, решение можно записать так: при $$y>0$$ выполняется $$|x|<\frac{2}{y}$$, а при $$y\le 0$$ подходят все $$x$$.

г) Неравенство $$|x|<\frac{2}{y}$$.

Чтобы правая часть была положительной, нужно $$y>0$$. Тогда

$$|x|<\frac{2}{y}\iff y<\frac{2}{|x|}.$$

Значит, при $$y>0$$ получаем область внутри графика $$y=\frac{2}{|x|}$$, а при $$y\le 0$$ неравенство не имеет смысла как условие с положительной правой частью.

Ответ

а) $$x=0$$ — любые $$y$$; при $$x>0$$: $$y\le \frac{2}{x}$$; при $$x<0$$: $$y\ge \frac{2}{x}$$.

б) $$x\ne 0,\; y<\frac{2}{|x|}$$.

в) При $$y>0$$: $$|x|<\frac{2}{y}$$; при $$y\le 0$$ — любые $$x$$.

г) При $$y>0$$: $$|x|<\frac{2}{y}$$.