Упр.32.33 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
а) Рассмотрим знак выражения под модулем $$x+y$$.
1) Если $$x+y\ge 0$$, то $$|x+y|=x+y$$. Тогда
$$(x+y)+2x-y\ge 3$$
$$3x\ge 3$$
$$x\ge 1.$$
При этом должно выполняться $$y\ge -x$$.
2) Если $$x+y<0$$, то $$|x+y|=-(x+y)$$. Тогда
$$-(x+y)+2x-y\ge 3$$
$$x-2y\ge 3$$
$$2y\le x-3$$
$$y\le \frac12x-\frac32.$$
При этом должно выполняться $$y<-x$$.
Итак, множество решений — объединение двух областей:
- $$x\ge 1,\quad y\ge -x;$$
- $$y<-x,\quad y\le \frac12x-\frac32.$$
б) Рассмотрим знак выражения под модулем $$x+y$$.
1) Если $$x+y\ge 0$$, то $$|x+y|=x+y$$ и
$$\frac{|x+y|}{x+y}\,x+|x+y|+y\le 4$$
$$x+(x+y)+y\le 4$$
$$2x+2y\le 4$$
$$y\le -x+2.$$
При этом должно выполняться $$y\ge -x$$.
2) Если $$x+y<0$$, то $$|x+y|=-(x+y)$$ и
$$\frac{|x+y|}{x+y}\,x+|x+y|+y\le 4$$
$$(-1)\cdot x-(x+y)+y\le 4$$
$$-2x\le 4$$
$$x\ge -2.$$
При этом должно выполняться $$y<-x$$.
Следовательно, множество решений — объединение областей:
- $$y\ge -x,\quad y\le -x+2;$$
- $$x\ge -2,\quad y<-x.$$
Ответ
а) $$\{(x,y)\mid x\ge 1,\ y\ge -x\}\cup\{(x,y)\mid y<-x,\ y\le \frac12x-\frac32\}$$
б) $$\{(x,y)\mid y\ge -x,\ y\le -x+2\}\cup\{(x,y)\mid x\ge -2,\ y<-x\}$$
