Упр.32.31 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\sqrt{y+1}<x$$

Так как $$\sqrt{y+1}\ge 0$$, то обязательно $$x>0$$. Возведём неравенство в квадрат:

$$y+1<x^2$$

Отсюда

$$y<x^2-1.$$

С учётом области определения корня $$y+1\ge 0$$ получаем систему:

$$\begin{cases} y\ge -1,\\ x>0,\\ y<x^2-1. \end{cases}$$

Это область, лежащая выше прямой $$y=-1$$ и ниже параболы $$y=x^2-1$$ при $$x>0$$.

б) $$\sqrt{2xy+y^2}\ge x+y$$

Так как левая часть неотрицательна, то при возведении в квадрат получаем:

$$2xy+y^2\ge (x+y)^2$$

$$2xy+y^2\ge x^2+2xy+y^2$$

$$x^2\le 0$$

Следовательно, $$x=0$$.

Подставим в исходное неравенство:

$$\sqrt{y^2}\ge y$$

$$|y|\ge y,$$

что верно при всех $$y$$.

Итак, множество решений — вся ось $$Oy$$:

$$x=0.$$

в) $$\sqrt{-2x-y-1}>-x$$

Так как левая часть неотрицательна, то необходимо $$-x>0$$, то есть $$x<0$$. Тогда можно возвести неравенство в квадрат:

$$-2x-y-1>x^2$$

$$-y>x^2+2x+1$$

$$-y>(x+1)^2$$

$$y<-(x+1)^2.$$

С учётом области определения корня:

$$-2x-y-1\ge 0.$$

Итак, решение задаётся системой:

$$\begin{cases} -2x-y-1\ge 0,\\ x<0,\\ y<-(x+1)^2. \end{cases}$$

г) $$\sqrt{2xy+x^2}\ge x-y$$

Так как левая часть неотрицательна, то нужно $$x-y\ge 0$$, то есть $$y\le x$$. Возведём неравенство в квадрат:

$$2xy+x^2\ge (x-y)^2$$

$$2xy+x^2\ge x^2-2xy+y^2$$

$$4xy-y^2\ge 0$$

$$y(4x-y)\ge 0.$$

Совместно с условием $$y\le x$$ получаем искомую область решений.

Эквивалентно можно записать систему:

$$\begin{cases} 2xy+x^2\ge 0,\\ y\le x. \end{cases}$$

Ответ

а) $$\{(x,y)\mid x>0,\ y\ge -1,\ y<x^2-1\}$$;
б) $$x=0$$;
в) $$\{(x,y)\mid x<0,\ -2x-y-1\ge 0,\ y<-(x+1)^2\}$$;
г) $$\{(x,y)\mid 2xy+x^2\ge 0,\ y\le x\}$$.