Упр.32.30 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
а) Рассмотрим неравенство
$$\sqrt{3x-y-1}<\sqrt{2x+y-1}.$$
Так как корни определены и функция $$\sqrt{t}$$ возрастает, получаем систему:
$$\begin{cases} 3x-y-1\ge 0,\\ 2x+y-1\ge 0,\\ 3x-y-1<2x+y-1. \end{cases}$$
Из последнего неравенства:
$$x<2y \quad \Longleftrightarrow \quad y>\frac{x}{2}.$$
Из условий существования корней:
$$\begin{cases} y\le 3x-1,\\ y\ge 1-2x. \end{cases}$$
Итак, искомое множество точек задаётся системой
$$\begin{cases} y>\dfrac{x}{2},\\ y\le 3x-1,\\ y\ge 1-2x. \end{cases}$$
б) Рассмотрим неравенство
$$\sqrt{1-y}\ge \sqrt{1-2x^2}.$$
Область определения:
$$\begin{cases} 1-y\ge 0,\\ 1-2x^2\ge 0. \end{cases}$$
То есть
$$y\le 1,\qquad x^2\le \frac12,\qquad |x|\le \frac1{\sqrt2}.$$
Так как обе части неотрицательны, возводим в квадрат:
$$1-y\ge 1-2x^2,$$
откуда
$$y\le 2x^2.$$
Следовательно, множество точек задаётся системой
$$\begin{cases} y\le 2x^2,\\ |x|\le \dfrac1{\sqrt2}. \end{cases}$$
в) Рассмотрим неравенство
$$\sqrt{x+y-1}>\sqrt{2x-y}.$$
Область определения:
$$\begin{cases} x+y-1\ge 0,\\ 2x-y\ge 0. \end{cases}$$
Так как корни определены и функция $$\sqrt{t}$$ возрастает, получаем:
$$x+y-1>2x-y.$$
Отсюда
$$2y>x+1,\qquad y>\frac{x}{2}+\frac12.$$
Итак, искомое множество точек задаётся системой
$$\begin{cases} y\ge 1-x,\\ y\le 2x,\\ y>\dfrac{x}{2}+\dfrac12. \end{cases}$$
г) Рассмотрим неравенство
$$\sqrt{y^2-1}\ge \sqrt{2x-1}.$$
Область определения:
$$\begin{cases} y^2-1\ge 0,\\ 2x-1\ge 0. \end{cases}$$
То есть
$$|y|\ge 1,\qquad x\ge \frac12.$$
Возводим в квадрат:
$$y^2-1\ge 2x-1,$$
откуда
$$2x\le y^2,\qquad x\le \frac12 y^2.$$
Следовательно, искомое множество точек задаётся системой
$$\begin{cases} x\ge \dfrac12,\\ x\le \dfrac12 y^2. \end{cases}$$
Ответ
а) $$\begin{cases}y>\dfrac{x}{2},\\ y\le 3x-1,\\ y\ge 1-2x.\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}y\le 2x^2,\\ |x|\le \dfrac1{\sqrt2}.\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}y\ge 1-x,\\ y\le 2x,\\ y>\dfrac{x}{2}+\dfrac12.\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}x\ge \dfrac12,\\ x\le \dfrac12 y^2.\end{cases}$$
