Упр.32.32 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
а) Рассмотрим модуль $$|x-3|$$ по случаям.
Если $$x \ge 3,$$ то $$|x-3|=x-3,$$ и неравенство принимает вид
$$2(x-3)+2x-3y \le 0,$$
$$4x-6-3y \le 0,$$
$$3y \ge 4x-6,$$
$$y \ge \frac{4}{3}x-2.$$
Если $$x \le 3,$$ то $$|x-3|=3-x,$$ и получаем
$$2(3-x)+2x-3y \le 0,$$
$$6-3y \le 0,$$
$$3y \ge 6,$$
$$y \ge 2.$$
Значит, искомое множество точек задаётся объединением двух полуплоскостей:
при $$x \le 3$$ — область выше прямой $$y=2,$$ а при $$x \ge 3$$ — область выше прямой $$y=\frac{4}{3}x-2.$$ Границы входят в решение.
б) Рассмотрим выражения под модулями по четырём случаям.
1) Если $$x \ge 3,\ y \ge -2,$$ то
$$|x-3|+|y+2| \ge 2x+5$$
$$x-3+y+2 \ge 2x+5$$
$$y \ge x+6.$$
2) Если $$x \ge 3,\ y \le -2,$$ то
$$x-3-(y+2) \ge 2x+5$$
$$-y \ge x+10$$
$$y \le -x-10.$$
3) Если $$x \le 3,\ y \ge -2,$$ то
$$3-x+y+2 \ge 2x+5$$
$$y \ge 3x.$$
4) Если $$x \le 3,\ y \le -2,$$ то
$$3-x-(y+2) \ge 2x+5$$
$$-y \ge 3x+4$$
$$y \le -3x-4.$$
Следовательно, решение — объединение четырёх областей, заданных неравенствами:
- $$x \ge 3,\ y \ge x+6;$$
- $$x \ge 3,\ y \le -x-10;$$
- $$x \le 3,\ y \ge 3x;$$
- $$x \le 3,\ y \le -3x-4.$$
Ответ
а) $$\{(x,y): x \le 3,\ y \ge 2\} \cup \{(x,y): x \ge 3,\ y \ge \frac{4}{3}x-2\}.$$
б) $$\{(x,y): x \ge 3,\ y \ge x+6\} \cup \{(x,y): x \ge 3,\ y \le -x-10\} \cup \{(x,y): x \le 3,\ y \ge 3x\} \cup \{(x,y): x \le 3,\ y \le -3x-4\}.$$
