Упр.32.3 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$xy+y-x=0$$

$$x-yx=y$$

$$x(1-y)=y$$

$$x=\frac{y}{1-y}$$

Чтобы решение было единственным, нужно, чтобы знаменатель не обращался в нуль:

$$1-y\ne 0,\qquad y\ne 1.$$

Ответ: $$x=\frac{y}{1-y},\ \text{если } y\ne 1;\quad \varnothing,\ \text{если } y=1.$$

б) $$xy^2+xy^5-(1+y^3)=0$$

$$xy^2(1+y^3)=1+y^3$$

Если $$1+y^3\ne 0,$$ то

$$xy^2=1,\qquad x=\frac{1}{y^2}.$$

Для единственности решения нужно, чтобы $$y^2\ne 0$$ и $$1+y^3\ne 0.$$

Отсюда $$y\ne 0,\qquad y\ne -1.$$

При $$y=-1$$ получаем тождество $$0=0,$$ поэтому решений бесконечно много.

При $$y=0$$ уравнение не имеет решений.

Ответ: $$x=\frac{1}{y^2},\ \text{если } y\ne -1,0;\quad \mathbb{R},\ \text{если } y=-1;\quad \varnothing,\ \text{если } y=0.$$

в) $$xy+y+2x=0$$

$$xy+2x=-y$$

$$x(y+2)=-y$$

$$x=-\frac{y}{y+2}$$

Чтобы решение было единственным, нужно:

$$y+2\ne 0,\qquad y\ne -2.$$

Ответ: $$x=-\frac{y}{y+2},\ \text{если } y\ne -2;\quad \varnothing,\ \text{если } y=-2.$$

г) $$xy-(x-1)y^3-1=0$$

$$xy-xy^3+y^3-1=0$$

$$xy(1-y^2)=1-y^3$$

$$xy(1-y)(1+y)=(1-y)(1+y+y^2)$$

Если $$y\ne 1,$$ то можно сократить на $$1-y$$:

$$xy(1+y)=1+y+y^2$$

$$x=\frac{y^2+y+1}{y(y+1)}.$$

Чтобы решение было единственным, нужно, чтобы знаменатель не обращался в нуль:

$$y\ne 0,\qquad y\ne -1,\qquad y\ne 1.$$

При $$y=1$$ уравнение превращается в тождество, поэтому решений бесконечно много.

При $$y=0$$ и $$y=-1$$ решений нет.

Ответ: $$x=\frac{y^2+y+1}{y(y+1)},\ \text{если } y\ne -1,0,1;\quad \mathbb{R},\ \text{если } y=1;\quad \varnothing,\ \text{если } y=-1,0.$$