Упр.32.28 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Пусть $$f(x,y)=3x+cy-5.$$ Тогда для точек $$A(-1;7)$$ и $$B(2;11)$$ имеем:

а) Точки лежат по одну сторону от прямой $$3x+cy=5$$

Вычислим значения выражения $$3x+cy-5$$ в этих точках:

$$f(A)=3\cdot(-1)+c\cdot 7-5=7c-8,$$

$$f(B)=3\cdot 2+c\cdot 11-5=11c+1.$$

Чтобы точки лежали по одну сторону от прямой, эти значения должны быть одного знака:

$$\begin{cases} 7c-8>0,\\ 11c+1>0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 7c-8<0,\\ 11c+1<0 \end{cases}$$

Из первой системы получаем:

$$c>\frac{8}{7}, \qquad c>-\frac{1}{11}.$$

Значит, $$c>\frac{8}{7}.$$

Из второй системы получаем:

$$c<\frac{8}{7}, \qquad c<-\frac{1}{11}.$$

Значит, $$c<-\frac{1}{11}.$$

Итак,

$$c\in\left(-\infty;-\frac{1}{11}\right)\cup\left(\frac{8}{7};+\infty\right).$$

б) Точки лежат по разные стороны от прямой $$5x-4y=c$$

Рассмотрим выражение $$5x-4y-c.$$ Тогда:

$$f(A)=5\cdot(-1)-4\cdot 7-c=-33-c,$$

$$f(B)=5\cdot 2-4\cdot 11-c=-34-c.$$

Чтобы точки лежали по разные стороны от прямой, эти значения должны иметь разные знаки:

$$\begin{cases} -33-c>0,\\ -34-c<0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} -33-c<0,\\ -34-c>0 \end{cases}$$

Из первой системы:

$$c<-33,\qquad c>-34,$$

то есть $$-34<c<-33.$$

Вторая система решений не даёт.

Следовательно,

$$c\in(-34;-33).$$

Ответ: а) $$c\in\left(-\infty;-\frac{1}{11}\right)\cup\left(\frac{8}{7};+\infty\right)$$; б) $$c\in(-34;-33).$$