Упр.32.23 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$x^2-5xy+6y^2=2$$;
б) $$x^2+xy-6y^2=5-5y$$;
в) $$x^2-xy+12y^2=12$$;
г) $$x^2-2xy+8y^2=6-2x+2y$$.
а) Преобразуем уравнение:
$$x^2-5xy+6y^2=2$$
$$x^2-3xy-2xy+6y^2=2$$
$$x(x-3y)-2y(x-3y)=2$$
$$(x-2y)(x-3y)=2$$
Так как требуется найти целые решения, рассмотрим разложения числа $$2$$ на множители:
$$2=1\cdot 2,\quad 2=2\cdot 1,\quad 2=(-1)\cdot(-2),\quad 2=(-2)\cdot(-1).$$
Получаем системы:
$$\begin{cases} x-2y=1,\\ x-3y=2 \end{cases}$$
$$y=-1,\quad x=-1.$$
$$\begin{cases} x-2y=2,\\ x-3y=1 \end{cases}$$
$$y=1,\quad x=4.$$
$$\begin{cases} x-2y=-1,\\ x-3y=-2 \end{cases}$$
$$y=1,\quad x=1.$$
$$\begin{cases} x-2y=-2,\\ x-3y=-1 \end{cases}$$
$$y=-1,\quad x=-4.$$
б) Рассмотрим уравнение как квадратное относительно $$x$$:
$$x^2+xy-6y^2=5-5y$$
$$x^2+xy+(5y-6y^2-5)=0.$$
Дискриминант должен быть квадратом целого числа:
$$D=y^2-4(5y-6y^2-5)=25y^2-20y+20=(5y-2)^2+16.$$
Пусть $$D=k^2$$. Тогда
$$k^2-(5y-2)^2=16$$
$$\bigl(k-(5y-2)\bigr)\bigl(k+(5y-2)\bigr)=16.$$
Подходящие целые значения дают $$y=1$$ и $$y=-1$$.
1) При $$y=1$$:
$$x^2+x-6=0$$
$$(x+3)(x-2)=0$$
$$x=-3 \text{ или } x=2.$$
2) При $$y=-1$$:
$$x^2-x-6=0$$
$$(x-3)(x+2)=0$$
$$x=3 \text{ или } x=-2.$$
в) Преобразуем уравнение:
$$x^2-xy+12y^2=12$$
$$x^2-xy+(12y^2-12)=0.$$
Рассмотрим его как квадратное относительно $$x$$:
$$D=y^2-4(12y^2-12)=48-47y^2.$$
Так как $$D$$ — квадрат целого числа, имеем
$$48-47y^2\ge 0.$$
Отсюда $$y^2\le 1$$, значит $$y=0,\pm1$$. Проверим:
- при $$y=0$$: $$x^2=12$$, целых решений нет;
- при $$y=1$$: $$x^2-x=0$$, откуда $$x=0$$ или $$x=1$$;
- при $$y=-1$$: $$x^2+x=0$$, откуда $$x=0$$ или $$x=-1$$.
г) Преобразуем уравнение:
$$x^2-2xy+8y^2=6-2x+2y$$
$$x^2-2xy+4y^2+2x-2y+4y^2-6=0$$
$$(x-y)^2+2(x-y)+4y^2-6=0.$$
Введём замену $$t=x-y$$. Тогда
$$t^2+2t+4y^2-6=0.$$
Рассмотрим дискриминант как квадрат целого числа:
$$D=4-4(4y^2-6)=28-16y^2=4(7-4y^2).$$
Отсюда $$7-4y^2\ge 0$$, значит $$y=0,\pm1.$$
Проверка даёт целые решения только при $$y=\pm1$$:
- при $$y=1$$: $$t=-2$$, значит $$x=-1$$;
- при $$y=-1$$: $$t=0$$, значит $$x=-1$$.
Ответ
а) $$(-1;\,-1),\ (4;\,1),\ (1;\,1),\ (-4;\,-1)$$;
б) $$(-3;\,1),\ (2;\,1),\ (3;\,-1),\ (-2;\,-1)$$;
в) $$(-1;\,-1),\ (0;\,-1),\ (0;\,1),\ (1;\,1)$$;
г) $$(-1;\,1),\ (-1;\,-1)$$.
