Упр.32.22 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$x+2y^2=7$$; б) $$x^2+2y=1$$; в) $$5x^2+y=17$$; г) $$7x-3y^2=1$$.

а) Из уравнения $$x+2y^2=7$$ получаем

$$x=7-2y^2.$$

Пусть $$y=k,$$ где $$k\in\mathbb{Z}.$$ Тогда

$$x=7-2k^2.$$

Ответ: $$(7-2k^2;\,k),\ k\in\mathbb{Z}.$$

б) Из уравнения $$x^2+2y=1$$ имеем

$$2y=1-x^2,\qquad y=\frac{1-x^2}{2}.$$

Чтобы $$y$$ было целым числом, число $$1-x^2$$ должно делиться на $$2$$. Значит, $$x$$ — нечётное число. Пусть

$$x=1-2k,\qquad k\in\mathbb{Z}.$$

Тогда

$$y=\frac{1-(1-2k)^2}{2}=\frac{1-(1-4k+4k^2)}{2}=\frac{4k-4k^2}{2}=2k-2k^2.$$

Ответ: $$(1-2k;\,2k-2k^2),\ k\in\mathbb{Z}.$$

в) Из уравнения $$5x^2+y=17$$ получаем

$$y=17-5x^2.$$

Пусть $$x=k,$$ где $$k\in\mathbb{Z}.$$ Тогда

$$y=17-5k^2.$$

Ответ: $$(k;\,17-5k^2),\ k\in\mathbb{Z}.$$

г) Из уравнения $$7x-3y^2=1$$ имеем

$$7x=3y^2+1,\qquad x=\frac{3y^2+1}{7}.$$

Чтобы $$x$$ было целым, число $$3y^2+1$$ должно делиться на $$7$$. Проверим квадраты по модулю $$7$$:

$$y^2\equiv 0,1,2,4 \pmod 7.$$

Тогда

$$3y^2+1\equiv 1,4,0,6 \pmod 7,$$

и делимость на $$7$$ возможна только при $$y^2\equiv 4 \pmod 7,$$ то есть при

$$y\equiv \pm 2 \pmod 7.$$

Пусть

$$y=7k+2 \quad \text{или} \quad y=7k-2,\qquad k\in\mathbb{Z}.$$

Тогда

$$x=\frac{3(7k+2)^2+1}{7}=21k^2+12k+2,$$

$$x=\frac{3(7k-2)^2+1}{7}=21k^2-12k+2.$$

Ответ: $$(21k^2+12k+2;\,7k+2),\ (21k^2-12k+2;\,7k-2),\ k\in\mathbb{Z}.$$