Упр.32.21 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 32.21. Решите уравнение в целых числах: а) $$x+2y=7$$; в) $$5x+y=17$$; б) $$7x+2y=1$$; г) $$7x-12y=1$$.

а) Из уравнения $$x+2y=7$$ выразим $$x$$:

$$x=7-2y.$$

Пусть $$y=k,$$ где $$k\in \mathbb{Z}.$$ Тогда

$$x=7-2k.$$

Следовательно, все целочисленные решения имеют вид:

$$\left(7-2k;\,k\right),\quad k\in \mathbb{Z}.$$

б) Из уравнения $$7x+2y=1$$ выразим $$x$$:

$$x=\frac{1-2y}{7}.$$

Чтобы $$x$$ было целым числом, число $$1-2y$$ должно делиться на $$7$$. Пусть

$$1-2y=7.$$

Тогда

$$2y=-6,\qquad y=-3.$$

Обозначим $$y=7k-3,$$ где $$k\in \mathbb{Z}.$$ Тогда

$$x=\frac{1-2(7k-3)}{7}=\frac{7-14k}{7}=1-2k.$$

Значит,

$$\left(1-2k;\,7k-3\right),\quad k\in \mathbb{Z}.$$

в) Из уравнения $$5x+y=17$$ выразим $$y$$:

$$y=17-5x.$$

Пусть $$x=k,$$ где $$k\in \mathbb{Z}.$$ Тогда

$$y=17-5k.$$

Следовательно,

$$\left(k;\,17-5k\right),\quad k\in \mathbb{Z}.$$

г) Из уравнения $$7x-12y=1$$ выразим $$x$$:

$$x=\frac{1+12y}{7}.$$

Чтобы $$x$$ было целым числом, число $$1+12y$$ должно делиться на $$7$$. Пусть

$$1+12y=-35.$$

Тогда

$$12y=-36,\qquad y=-3.$$

Обозначим $$y=7k-3,$$ где $$k\in \mathbb{Z}.$$ Тогда

$$x=\frac{1+12(7k-3)}{7}=\frac{84k-35}{7}=12k-5.$$

Значит,

$$\left(12k-5;\,7k-3\right),\quad k\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$\left(7-2k;\,k\right),\ k\in \mathbb{Z};$$ б) $$\left(1-2k;\,7k-3\right),\ k\in \mathbb{Z};$$ в) $$\left(k;\,17-5k\right),\ k\in \mathbb{Z};$$ г) $$\left(12k-5;\,7k-3\right),\ k\in \mathbb{Z}.$$