Упр.32.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$|y+2|=\sqrt{4-x^2}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$(y+2)^2=4-x^2$$
$$x^2+(y+2)^2=4$$
Это окружность с центром $$(0,-2)$$ и радиусом $$2$$.
Для существования решений нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:
$$4-x^2\ge 0$$
$$x^2\le 4$$
$$|x|\le 2$$
Так как левая часть $$|y+2|$$ неотрицательна, равенство возможно при всех точках окружности, где оно выполняется.
б) $$|y|=-\sqrt{4-x^2}+2$$
Перенесём корень в левую часть:
$$2-|y|=\sqrt{4-x^2}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$(2-|y|)^2=4-x^2$$
$$x^2+(|y|-2)^2=4$$
Если $$y\ge 0$$, то $$|y|=y$$, и получаем:
$$x^2+(y-2)^2=4$$
Это окружность с центром $$(0,2)$$ и радиусом $$2$$.
Для существования решений нужно:
$$2-|y|\ge 0,\quad |y|\le 2$$
и
$$4-x^2\ge 0,\quad |x|\le 2$$
в) $$|y|+2=\sqrt{4-(x-1)^2}$$
Перенесём 2 в правую часть:
$$|y|=\sqrt{4-(x-1)^2}-2$$
Так как $$|y|\ge 0$$, то правая часть тоже должна быть неотрицательной:
$$\sqrt{4-(x-1)^2}-2\ge 0$$
$$\sqrt{4-(x-1)^2}\ge 2$$
$$4-(x-1)^2\ge 4$$
$$(x-1)^2\le 0$$
Следовательно,
$$x=1$$
Тогда
$$|y|+2=\sqrt{4}=2$$
$$|y|=0$$
$$y=0$$
Значит, график — единственная точка $$(1,0)$$.
Ответ: а) $$x^2+(y+2)^2=4$$; б) $$x^2+(|y|-2)^2=4$$, при $$y\ge 0$$: $$x^2+(y-2)^2=4$$; в) $$(1,0)$$.
