Упр.32.18 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$y=\sqrt{1-x^2}$$
Возведём в квадрат:
$$y^2=1-x^2$$
$$x^2+y^2=1$$
Это верхняя полуокружность с центром в начале координат и радиусом $$1$$. Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то
$$1-x^2\ge 0,\quad x^2\le 1,\quad |x|\le 1,$$
а поскольку $$y=\sqrt{1-x^2}$$, то $$y\ge 0$$.
б) $$y=-\sqrt{1-(x-1)^2}$$
Возведём в квадрат:
$$y^2=1-(x-1)^2$$
$$(x-1)^2+y^2=1$$
Это нижняя полуокружность с центром $$(1,0)$$ и радиусом $$1$$. Область определения:
$$1-(x-1)^2\ge 0,\quad (x-1)^2\le 1,\quad 0\le x\le 2,$$
а так как стоит знак «минус» перед корнем, то $$y\le 0$$.
в) $$y+2=-\sqrt{1-x^2}$$
Перенесём $$2$$:
$$-(y+2)=\sqrt{1-x^2}$$
Возведём в квадрат:
$$(y+2)^2=1-x^2$$
$$x^2+(y+2)^2=1$$
Это нижняя полуокружность окружности с центром $$(0,-2)$$ и радиусом $$1$$. Так как правая часть неотрицательна, то
$$-(y+2)\ge 0,\quad y\le -2.$$
Кроме того,
$$1-x^2\ge 0,\quad |x|\le 1.$$
г) $$|y|=-\sqrt{1-x^2}+3$$
Перенесём корень:
$$\sqrt{1-x^2}=3-|y|$$
Возведём в квадрат:
$$1-x^2=(3-|y|)^2$$
$$x^2+(|y|-3)^2=1$$
Если $$y\ge 0$$, то $$|y|=y$$ и получаем
$$x^2+(y-3)^2=1.$$
Если $$y\le 0$$, то $$|y|=-y$$ и получаем
$$x^2+(y+3)^2=1.$$
Область определения задаётся условиями
$$1-x^2\ge 0,\quad |x|\le 1,\quad 3-|y|\ge 0,\quad |y|\le 3.$$
Ответ
а) $$x^2+y^2=1,\ y\ge 0.$$
б) $$(x-1)^2+y^2=1,\ y\le 0.$$
в) $$x^2+(y+2)^2=1,\ y\le -2.$$
г) $$x^2+(|y|-3)^2=1,$$ при $$y\ge 0$$: $$x^2+(y-3)^2=1,$$ при $$y\le 0$$: $$x^2+(y+3)^2=1.$$
