Упр.32.17 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим каждое уравнение отдельно.

а) $$y=\sqrt{4-x^2}$$

Возведём обе части в квадрат:

$$y^2=4-x^2$$

Тогда

$$x^2+y^2=4.$$

Это окружность с центром в точке $$O(0;0)$$ и радиусом $$R=2$$, но так как $$y=\sqrt{4-x^2}$$, то обязательно $$y\ge 0$$. Значит, нужно взять только верхнюю полуокружность.

Область определения:

$$4-x^2\ge 0,\quad x^2\le 4,\quad |x|\le 2.$$

б) $$|y|=\sqrt{4-x^2}$$

Возведём обе части в квадрат:

$$y^2=4-x^2$$

Следовательно,

$$x^2+y^2=4.$$

Это окружность с центром в точке $$O(0;0)$$ и радиусом $$R=2$$. Здесь берутся все точки окружности, так как модуль $$|y|$$ не ограничивает знак $$y$$.

Область определения:

$$4-x^2\ge 0,\quad x^2\le 4,\quad |x|\le 2.$$

в) $$y=-\sqrt{4-x^2}$$

Возведём обе части в квадрат:

$$y^2=4-x^2$$

Получаем

$$x^2+y^2=4.$$

Так как $$y=-\sqrt{4-x^2}$$, то обязательно $$y\le 0$$. Значит, это нижняя полуокружность окружности $$x^2+y^2=4$$.

Область определения:

$$4-x^2\ge 0,\quad x^2\le 4,\quad |x|\le 2.$$

г) $$x=\sqrt{4-y^2}$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x^2=4-y^2$$

Следовательно,

$$x^2+y^2=4.$$

Это окружность с центром в точке $$O(0;0)$$ и радиусом $$R=2$$, но так как $$x=\sqrt{4-y^2}$$, то обязательно $$x\ge 0$$. Значит, нужно взять только правую полуокружность.

Область определения:

$$4-y^2\ge 0,\quad y^2\le 4,\quad |y|\le 2.$$

Ответ: во всех случаях получается окружность $$x^2+y^2=4$$, а для пунктов а), в), г) — соответствующие полуокружности: верхняя, нижняя и правая.