Упр.32.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- Постройте на координатной плоскости множество точек $$(x; y)$$ таких, что $$|x — 3| + |y + 3| = 3$$, и определите все значения, которые на этом множестве принимает выражение: а) $$-3x — 2y$$; б) $$x^2 + y^2$$; в) $$5x + 7y$$; г) $$xy$$.
Множество точек задаётся уравнением
$$|x-3|+|y+3|=3.$$
Это ромб с вершинами $$B(3,0),\ A(6,-3),\ C(0,-3),\ D(3,-6).$$
а) $$-3x-2y$$
Рассмотрим стороны ромба по отдельности.
1) На стороне $$BA$$: $$y=3-x,\ 3\le x\le 6.$$ Тогда
$$-3x-2y=-3x-2(3-x)=-x-6.$$
При $$x\in[3;6]$$ получаем $$-12\le -3x-2y\le -9.$$
2) На стороне $$AC$$: $$y=x-9,\ 3\le x\le 6.$$ Тогда
$$-3x-2y=-3x-2(x-9)=18-5x,$$
откуда $$-12\le -3x-2y\le 3.$$
3) На стороне $$CB$$: $$y=x-3,\ 0\le x\le 3.$$ Тогда
$$-3x-2y=-3x-2(x-3)=6-5x,$$
и потому $$-9\le -3x-2y\le 6.$$
4) На стороне $$DA$$: $$y=-x-3,\ 0\le x\le 3.$$ Тогда
$$-3x-2y=-3x-2(-x-3)=6-x,$$
значит, $$3\le -3x-2y\le 6.$$
Объединяя все случаи, получаем:
$$-12\le -3x-2y\le 6.$$
б) $$x^2+y^2$$
1) На стороне $$BA$$: $$y=3-x,\ 3\le x\le 6.$$ Тогда
$$x^2+y^2=x^2+(3-x)^2=2x^2-6x+9.$$
На отрезке $$[3;6]$$ эта функция возрастает, поэтому
$$9\le x^2+y^2\le 45.$$
2) На стороне $$CB$$: $$y=x-3,\ 0\le x\le 3.$$ Тогда
$$x^2+y^2=x^2+(x-3)^2=2x^2-6x+9,$$
и на этом отрезке минимум достигается при $$x=1{,}5$$:
$$4{,}5\le x^2+y^2\le 9.$$
3) На стороне $$CD$$: $$y=-x-3,\ 0\le x\le 3.$$ Тогда
$$x^2+y^2=x^2+(-x-3)^2=2x^2+6x+9,$$
и на отрезке $$[0;3]$$ функция возрастает, значит
$$9\le x^2+y^2\le 45.$$
4) На стороне $$DA$$: $$y=x-9,\ 3\le x\le 6.$$ Тогда
$$x^2+y^2=x^2+(x-9)^2=2x^2-18x+81,$$
минимум при $$x=4{,}5$$:
$$40{,}5\le x^2+y^2\le 45.$$
Следовательно, на всём множестве
$$4{,}5\le x^2+y^2\le 45.$$
в) $$5x+7y$$
1) На стороне $$BA$$: $$y=3-x,\ 3\le x\le 6.$$ Тогда
$$5x+7y=5x+7(3-x)=21-2x,$$
и потому $$9\le 5x+7y\le 15.$$
2) На стороне $$CB$$: $$y=x-3,\ 0\le x\le 3.$$ Тогда
$$5x+7y=5x+7(x-3)=12x-21,$$
откуда $$-21\le 5x+7y\le 15.$$
3) На стороне $$CD$$: $$y=-x-3,\ 0\le x\le 3.$$ Тогда
$$5x+7y=5x+7(-x-3)=-2x-21,$$
значит, $$-27\le 5x+7y\le -21.$$
4) На стороне $$DA$$: $$y=x-9,\ 3\le x\le 6.$$ Тогда
$$5x+7y=5x+7(x-9)=12x-63,$$
и потому $$-27\le 5x+7y\le 9.$$
Итак,
$$-27\le 5x+7y\le 15.$$
г) $$xy$$
1) На стороне $$BA$$: $$y=3-x,\ 3\le x\le 6.$$ Тогда
$$xy=x(3-x)=3x-x^2.$$
Максимум равен $$0$$ при $$x=3$$, минимум равен $$-18$$ при $$x=6$$. Значит,
$$-18\le xy\le 0.$$
2) На стороне $$CB$$: $$y=x-3,\ 0\le x\le 3.$$ Тогда
$$xy=x(x-3)=x^2-3x,$$
и на этом отрезке
$$-2{,}25\le xy\le 0.$$
3) На стороне $$CD$$: $$y=-x-3,\ 0\le x\le 3.$$ Тогда
$$xy=x(-x-3)=-x^2-3x,$$
откуда
$$-18\le xy\le 0.$$
4) На стороне $$DA$$: $$y=x-9,\ 3\le x\le 6.$$ Тогда
$$xy=x(x-9)=x^2-9x,$$
и потому
$$-20{,}25\le xy\le -18.$$
Следовательно, на всём множестве
$$-20{,}25\le xy\le 0.$$
Ответ
а) $$-12\le -3x-2y\le 6$$; б) $$4{,}5\le x^2+y^2\le 45$$; в) $$-27\le 5x+7y\le 15$$; г) $$-20{,}25\le xy\le 0$$.
