Упр.32.14 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Постройте график уравнения и вычислите площадь фигуры, которая ограничена этим графиком:

а) $$2|x|+3|y|=6$$;

б) $$\frac{1}{3}|x+5|+\frac{1}{5}|y-1|=2$$;

в) $$0{,}5|x|+\frac{1}{3}|y|=2$$;

г) $$\frac{|x-a|}{p}+\frac{|y-b|}{q}=1,\quad p>0,\ q>0$$.

а) Рассмотрим уравнение в первой четверти:

$$2x+3y=6.$$

Тогда

$$3y=-2x+6,$$

$$y=-\frac{2}{3}x+2.$$

Вершины ромба: $$(-3,0),\ (0,2),\ (3,0),\ (0,-2).$$

Диагонали ромба равны $$6$$ и $$4$$, значит

$$S=\frac12\cdot 6\cdot 4=12.$$

б) Сделаем замену:

$$\frac13|x+5|+\frac15|y-1|=2.$$

Введём новые переменные $$X=x+5,\ Y=y-1$$. Тогда

$$\frac13|X|+\frac15|Y|=2.$$

В первой четверти:

$$\frac13X+\frac15Y=2,$$

$$5X+3Y=30,$$

$$Y=10-\frac53X.$$

Отсюда вершины фигуры в новых координатах: $$(-6,0),\ (0,10),\ (6,0),\ (0,-10).$$

Диагонали равны $$12$$ и $$20$$, поэтому

$$S=\frac12\cdot 12\cdot 20=120.$$

в) Аналогично:

$$0{,}5|x|+\frac13|y|=2.$$

В первой четверти:

$$0{,}5x+\frac13y=2,$$

$$\frac13y=2-\frac12x,$$

$$y=6-\frac32x.$$

Вершины ромба: $$(-4,0),\ (0,6),\ (4,0),\ (0,-6).$$

Диагонали равны $$8$$ и $$12$$, значит

$$S=\frac12\cdot 8\cdot 12=48.$$

г) Рассмотрим уравнение

$$\frac{|x-a|}{p}+\frac{|y-b|}{q}=1,\qquad p>0,\ q>0.$$

Положим $$X=x-a,\ Y=y-b$$. Тогда

$$\frac{|X|}{p}+\frac{|Y|}{q}=1.$$

В первой четверти:

$$\frac{X}{p}+\frac{Y}{q}=1,$$

$$Y=q-\frac{q}{p}X.$$

Вершины фигуры: $$(-p,0),\ (0,q),\ (p,0),\ (0,-q).$$

Диагонали равны $$2p$$ и $$2q$$, поэтому

$$S=\frac12\cdot 2p\cdot 2q=2pq.$$

Ответ: а) $$12$$; б) $$120$$; в) $$48$$; г) $$2pq$$.