Упр.32.10 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
а) Рассмотрим уравнение
$$\frac{x^2-9y^2}{(x-3y)(x+3y)}=1.$$
Так как $$x^2-9y^2=(x-3y)(x+3y),$$ то при $$x-3y\ne 0$$ и $$x+3y\ne 0$$ получаем
$$\frac{(x-3y)(x+3y)}{(x-3y)(x+3y)}=1,$$
то есть $$1=1.$$
Область определения:
$$x-3y\ne 0,\quad x+3y\ne 0,$$
или
$$y\ne \frac{x}{3},\quad y\ne -\frac{x}{3}.$$
Следовательно, график — вся координатная плоскость, кроме двух прямых $$y=\frac{x}{3}$$ и $$y=-\frac{x}{3}.$$
б) Рассмотрим уравнение
$$\frac{|x+y|}{(x+y)^2}=1.$$
При $$x+y\ne 0$$ имеем
$$|x+y|=(x+y)^2.$$
Обозначим $$t=|x+y|$$, тогда $$t=t^2,$$ откуда
$$t(t-1)=0,$$
значит, $$t=1$$, так как $$t=0$$ невозможно из-за области определения.
Тогда
$$|x+y|=1,$$
откуда
$$x+y=1 \quad \text{или} \quad x+y=-1.$$
Следовательно, график — две прямые:
$$y=1-x,\qquad y=-1-x.$$
в) Рассмотрим уравнение
$$\left(x+3y-1\right)^2+\left(x^2-3xy-4y^2\right)^2=0.$$
Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:
$$\begin{cases} x+3y-1=0,\\ x^2-3xy-4y^2=0. \end{cases}$$
Разложим второе уравнение на множители:
$$x^2-3xy-4y^2=x^2+xy-4xy-4y^2=(x-4y)(x+y)=0.$$
Значит,
$$x=4y \quad \text{или} \quad x=-y.$$
1) Если $$x=4y,$$ то из $$x+3y-1=0$$ получаем
$$4y+3y-1=0,\quad 7y=1,\quad y=\frac17,\quad x=\frac47.$$
2) Если $$x=-y,$$ то
$$-y+3y-1=0,\quad 2y=1,\quad y=\frac12,\quad x=-\frac12.$$
Итак, график состоит из двух точек:
$$\left(\frac47,\frac17\right)\quad \text{и} \quad \left(-\frac12,\frac12\right).$$
г) Рассмотрим уравнение
$$|x^2-y-2|+|x^2+y^2-2|=0.$$
Сумма модулей равна нулю только тогда, когда оба модуля равны нулю:
$$\begin{cases} x^2-y-2=0,\\ x^2+y^2-2=0. \end{cases}$$
Из первого уравнения
$$y=x^2-2.$$
Подставим во второе:
$$x^2+(x^2-2)^2-2=0.$$
Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
$$t+(t-2)^2-2=0,$$
$$t+t^2-4t+4-2=0,$$
$$t^2-3t+2=0,$$
$$\left(t-1\right)\left(t-2\right)=0.$$
Значит, $$t=1$$ или $$t=2$$, то есть
$$x^2=1 \quad \text{или} \quad x^2=2.$$
Тогда
$$x=\pm 1,\quad y=-1;$$
$$x=\pm \sqrt2,\quad y=0.$$
График состоит из четырёх точек:
$$(-1,-1),\ (1,-1),\ (-\sqrt2,0),\ (\sqrt2,0).$$
Ответ
а) Вся плоскость, кроме прямых $$y=\frac{x}{3}$$ и $$y=-\frac{x}{3}.$$
б) Прямые $$y=1-x$$ и $$y=-1-x.$$
в) Точки $$\left(\frac47,\frac17\right)$$ и $$\left(-\frac12,\frac12\right).$$
г) Точки $$(-1,-1),\ (1,-1),\ (-\sqrt2,0),\ (\sqrt2,0).$$
