Упр.31.9 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$a^2+2b^2+2ab+b+10>0$$

Представим выражение в виде суммы квадратов:

$$a^2+2ab+b^2+b^2+b+10=\left(a+b\right)^2+\left(b+\frac12\right)^2+\frac{39}{4}.$$

Так как $$\left(a+b\right)^2\ge 0$$ и $$\left(b+\frac12\right)^2\ge 0,$$ то

$$\left(a+b\right)^2+\left(b+\frac12\right)^2+\frac{39}{4}>0.$$

Неравенство доказано.

б) $$a^2+b^2+c^2+3\ge ab+bc+ac$$

Перенесём всё в левую часть:

$$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac+3\ge 0.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$\frac12(a^2-2ab+b^2)+\frac12(b^2-2bc+c^2)+\frac12(a^2-2ac+c^2)+3\ge 0,$$

то есть

$$\frac12(a-b)^2+\frac12(b-c)^2+\frac12(a-c)^2+3\ge 0.$$

Каждое слагаемое неотрицательно, значит неравенство верно.

Неравенство доказано.

в) $$a^2+b^2+c^2+3\ge 2(a+b+c)$$

Перенесём всё в левую часть:

$$a^2+b^2+c^2-2a-2b-2c+3\ge 0.$$

Допишем до квадратов:

$$\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(c^2-2c+1\right)\ge 0,$$

то есть

$$\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge 0.$$

Сумма квадратов неотрицательна при любых $$a$$, $$b$$, $$c$$.

Неравенство доказано.

г) $$1+2a^4\ge a^2+2a^3$$

Перенесём всё в левую часть:

$$2a^4-2a^3-a^2+1\ge 0.$$

Разложим на множители:

$$2a^4-2a^3-a^2+1=2a^3(a-1)-(a^2-1)=2a^3(a-1)-(a-1)(a+1),$$

$$=(a-1)\left(2a^3-a-1\right)=(a-1)\left(a-1\right)\left(2a^2+2a+1\right).$$

Получаем

$$\left(a-1\right)^2\left(2a^2+2a+1\right)\ge 0.$$

Так как $$\left(a-1\right)^2\ge 0$$ и $$2a^2+2a+1>0,$$ то неравенство верно при любых $$a$$.

Неравенство доказано.