Упр.31.8 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) При $$a+b\ge 0$$ достаточно показать, что

$$ab(a+b)\le (a+b)(a^2-ab+b^2).$$

Так как $$a+b\ge 0,$$ то можно разделить обе части на $$a+b$$:

$$ab\le a^2-ab+b^2.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$a^2-2ab+b^2\ge 0.$$

Получаем

$$\left(a-b\right)^2\ge 0,$$

что верно при любых $$a$$ и $$b$$. Следовательно, неравенство доказано.

б) При $$a+b\ge 0,\ a\ne 0,\ b\ne 0$$ имеем

$$\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b}.$$

Приведём всё к общему знаменателю:

$$\frac{a^3+b^3}{a^2b^2}\ge \frac{a+b}{ab}.$$

Так как $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),$$ то

$$\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{(ab)^2}-\frac{a+b}{ab}\ge 0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{a^2-ab+b^2-ab}{(ab)^2}\ge 0,$$

то есть

$$\frac{a^2-2ab+b^2}{(ab)^2}\ge 0.$$

Следовательно,

$$\frac{(a-b)^2}{(ab)^2}\ge 0,$$

что верно. Неравенство доказано.

Ответ

а) $$ab(a+b)\le a^3+b^3$$ при $$a+b\ge 0$$; б) $$\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{a^2}\ge \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$$ при $$a+b\ge 0,\ a\ne 0,\ b\ne 0$$.