Упр.31.27 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$\ln(1+x)>x-\frac{x^2}{2}$$ при всех $$x\in(0;+\infty)$$;
б) $$\sin x>x-\frac{x^2}{6}$$ при всех $$x\in(0;+\infty)$$;
в) $$e^x\geq 1+x+\frac{x^2}{2}$$ при всех $$x\in\mathbb{R}$$;
г) $$\cos x>1-\frac{x^2}{2}$$ при всех $$x\in(0;+\infty)$$.
Рассмотрим по очереди каждое неравенство.
Пусть $$f(x)=\ln(1+x)-x+\frac{x^2}{2}, \qquad x\in(0;+\infty).$$
Тогда
$$f'(x)=\frac{1}{1+x}-1+x=\frac{x^2}{1+x}.$$
При $$x>0$$ имеем $$f'(x)>0$$, значит, функция $$f(x)$$ возрастает на $$(0;+\infty).$$
Кроме того,
$$f(0)=\ln(1+0)-0+\frac{0^2}{2}=0.$$
Следовательно, при $$x>0$$
$$f(x)>f(0)=0,$$
то есть
$$\ln(1+x)>x-\frac{x^2}{2}.$$
Пусть $$g(x)=\sin x-x+\frac{x^3}{6}, \qquad x\in(0;+\infty).$$
Тогда
$$g'(x)=\cos x-1+\frac{x^2}{2}.$$
Найдём вторую производную:
$$g»(x)=-\sin x+x,$$
а третью:
$$g»'(x)=1-\cos x\ge 0.$$
Значит, $$g»(x)$$ возрастает, и так как
$$g»(0)=0,$$
то при $$x>0$$ имеем $$g»(x)\ge 0.$$ Следовательно, $$g'(x)$$ возрастает. Поскольку
$$g'(0)=\cos 0-1+\frac{0^2}{2}=0,$$
то при $$x>0$$
$$g'(x)\ge 0.$$
Значит, $$g(x)$$ возрастает на $$(0;+\infty).$$ Так как
$$g(0)=\sin 0-0+\frac{0^3}{6}=0,$$
получаем
$$g(x)>0,$$
то есть
$$\sin x>x-\frac{x^3}{6}.$$
Пусть $$h(x)=e^x-1-x-\frac{x^2}{2}, \qquad x\in\mathbb{R}.$$
Тогда
$$h'(x)=e^x-1-x,$$
$$h»(x)=e^x-1.$$
При $$x\ge 0$$ имеем $$e^x\ge 1,$$ значит, $$h»(x)\ge 0.$$ Следовательно, $$h'(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}.$$
Так как
$$h'(0)=e^0-1-0=0,$$
то при всех $$x\in\mathbb{R}$$
$$h'(x)\ge 0.$$
Значит, $$h(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}.$$ Кроме того,
$$h(0)=e^0-1-0-\frac{0^2}{2}=0.$$
Следовательно,
$$h(x)\ge 0,$$
то есть
$$e^x\ge 1+x+\frac{x^2}{2}.$$
Пусть $$k(x)=\cos x-1+\frac{x^2}{2}, \qquad x\in(0;+\infty).$$
Тогда
$$k'(x)=-\sin x+x,$$
$$k»(x)=1-\cos x\ge 0.$$
Значит, $$k'(x)$$ возрастает. Поскольку
$$k'(0)=-\sin 0+0=0,$$
то при $$x>0$$
$$k'(x)\ge 0.$$
Следовательно, $$k(x)$$ возрастает на $$(0;+\infty).$$ Так как
$$k(0)=\cos 0-1+\frac{0^2}{2}=0,$$
то
$$k(x)>0,$$
то есть
$$\cos x>1-\frac{x^2}{2}.$$
Ответ:
$$\ln(1+x)>x-\frac{x^2}{2}, \qquad \sin x>x-\frac{x^3}{6}, \qquad e^x\ge 1+x+\frac{x^2}{2}, \qquad \cos x>1-\frac{x^2}{2}.$$
