Упр.31.26 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Рассмотрим функцию $$f(x)=1+\ln x-x$$ при $$x\in(0;+\infty).$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}.$$

Так как $$x>0,$$ то знак производной определяется числителем:

$$f'(x)\le 0 \iff 1-x\le 0 \iff x\ge 1.$$

Значит, функция убывает на $$\left(0;1\right]$$ и возрастает на $$\left[1;+\infty\right).$$ Следовательно, наименьшее значение достигается при $$x=1$$:

$$f(1)=1+\ln 1-1=0.$$

Итак,

$$1+\ln x-x\le 0,$$

то есть

$$1+\ln x\le x.$$

б) Рассмотрим функцию $$g(x)=e^x-1-x$$ при $$x\in\mathbb R.$$

Найдём производную:

$$g'(x)=e^x-1.$$

Тогда

$$g'(x)\le 0 \iff e^x\le 1 \iff x\le 0,$$

а при $$x\ge 0$$ имеем $$g'(x)\ge 0.$$ Значит, функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty).$$ Следовательно, минимум достигается при $$x=0$$:

$$g(0)=e^0-1-0=0.$$

Отсюда

$$e^x-1-x\ge 0,$$

то есть

$$e^x\ge 1+x.$$

Ответ

а) $$1+\ln x\le x$$ при $$x>0$$; б) $$e^x\ge 1+x$$ при $$x\in\mathbb R.$$