Упр.31.25 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Рассмотрим функцию $$f(x)=\sin x-x$$ на промежутке $$x\in(0;+\infty).$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\cos x-1\le 0,$$

так как $$\cos x\le 1.$$ Значит, функция $$f(x)$$ не возрастает на $$\left(0;+\infty\right).$$

Кроме того,

$$f(0)=\sin 0-0=0.$$

Следовательно, при $$x>0$$ имеем $$f(x)<f(0)=0,$$ то есть

$$\sin x-x<0.$$

б) Рассмотрим функцию $$g(x)=\tg x-x$$ на промежутке $$x\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right).$$

Найдём производную:

$$g'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}-1=\frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}=\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}=\tg^2 x\ge 0.$$

Значит, функция $$g(x)$$ возрастает на $$\left(0;\frac{\pi}{2}\right).$$

Также

$$g(0)=\tg 0-0=0.$$

Следовательно, при $$x>0$$ имеем $$g(x)>g(0)=0,$$ то есть

$$\tg x-x>0.$$

Ответ

$$\sin x-x<0 \quad \text{при } x\in(0;+\infty),$$

$$\tg x-x>0 \quad \text{при } x\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right).$$