Упр.31.24 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\sqrt{n}<1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{n}}$$, где $$n\geq 2$$;
   б) $$2\sqrt{n}>1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{n}}$$, где $$n\geq 2$$.

Докажем оба неравенства методом математической индукции.

а)

Рассмотрим неравенство

$$\sqrt{n}<1+\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt n}, \qquad n\ge 2.$$

При $$n=2$$ имеем:

$$\sqrt2<1+\frac1{\sqrt2},$$

что верно, так как

$$1<\sqrt2.$$

Предположим, что для некоторого $$n=k$$ неравенство верно:

$$\sqrt{k}<1+\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt k}.$$

Докажем, что тогда оно верно и для $$n=k+1$$:

$$\sqrt{k+1}<1+\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt k}+\frac1{\sqrt{k+1}}.$$

Из предположения индукции получаем

$$1+\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt k}+\frac1{\sqrt{k+1}}>\sqrt{k}+\frac1{\sqrt{k+1}}.$$

Осталось показать, что

$$\sqrt{k}+\frac1{\sqrt{k+1}}>\sqrt{k+1}.$$

Это равносильно неравенству

$$\sqrt{k+1}-\sqrt{k}<\frac1{\sqrt{k+1}}.$$

Умножим на $$\sqrt{k+1}(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})>0$$:

$$1<\sqrt{k+1}+\sqrt{k}.$$

Это верно при $$k\ge 2$$. Значит, неравенство доказано.

б)

Докажем неравенство

$$2\sqrt n>1+\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt n}, \qquad n\ge 2.$$

При $$n=2$$:

$$2\sqrt2>1+\frac1{\sqrt2},$$

так как

$$4>\sqrt2+1,$$

а это верно.

Предположим, что для $$n=k$$ неравенство верно:

$$2\sqrt{k}>1+\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt k}.$$

Тогда

$$1+\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt k}+\frac1{\sqrt{k+1}}<2\sqrt{k}+\frac1{\sqrt{k+1}}.$$

Достаточно доказать, что

$$2\sqrt{k}+\frac1{\sqrt{k+1}}<2\sqrt{k+1}.$$

Предположим противное:

$$2\sqrt{k}+\frac1{\sqrt{k+1}}\ge 2\sqrt{k+1}.$$

Тогда

$$2\sqrt{k+1}-2\sqrt{k}\le \frac1{\sqrt{k+1}}.$$

Возведём в квадрат и преобразуем:

$$2\sqrt{k^2+k+1}\ge 2k+1,$$

$$4(k^2+k+1)\ge (2k+1)^2,$$

$$4k^2+4k+4\ge 4k^2+4k+1,$$

$$4\ge 1,$$

что верно, значит требуемое неравенство выполняется. Следовательно, индукционный переход доказан, и неравенство верно для всех $$n\ge 2$$.

Ответ

$$\sqrt n<1+\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt n}, \qquad 2\sqrt n>1+\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt n} \quad (n\ge 2).$$