Упр.31.23 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Докажите неравенство, воспользовавшись методом математической индукции:
   а) $$2^n>n^2$$, где $$n\ge 5$$;
   б) $$2^n>n^3$$, где $$n\ge 10$$.

а) Докажем по индукции, что $$2^n>n^2$$ при $$n\ge 5$$.

1) База индукции: при $$n=5$$ имеем

$$2^5=32,\qquad 5^2=25,\qquad 32>25.$$

2) Индукционный переход: пусть для некоторого $$n=k\ge 5$$ верно

$$2^k>k^2.$$

Докажем, что тогда

$$2^{k+1}>(k+1)^2.$$

Действительно,

$$2^{k+1}=2\cdot 2^k>2k^2.$$

Осталось показать, что

$$2k^2\ge (k+1)^2.$$

Это равносильно

$$2k^2-(k+1)^2=k^2-2k-1\ge 0.$$

При $$k\ge 5$$ получаем

$$k^2-2k-1\ge 25-10-1=14>0.$$

Значит,

$$2^{k+1}>(k+1)^2.$$

Следовательно, неравенство верно для всех $$n\ge 5$$.

б) Докажем по индукции, что $$2^n>n^3$$ при $$n\ge 10$$.

1) База индукции: при $$n=10$$ имеем

$$2^{10}=1024,\qquad 10^3=1000,\qquad 1024>1000.$$

2) Индукционный переход: пусть для некоторого $$n=k\ge 10$$ верно

$$2^k>k^3.$$

Докажем, что тогда

$$2^{k+1}>(k+1)^3.$$

Имеем

$$2^{k+1}=2\cdot 2^k>2k^3.$$

Достаточно показать, что

$$2k^3\ge (k+1)^3.$$

Рассмотрим разность:

$$2k^3-(k+1)^3=k^3-3k^2-3k-1.$$

При $$k\ge 10$$

$$k^3-3k^2-3k-1\ge 1000-300-30-1=669>0.$$

Значит,

$$2^{k+1}>(k+1)^3.$$

Следовательно, неравенство верно для всех $$n\ge 10$$.

Ответ: а) $$2^n>n^2$$ при $$n\ge 5$$; б) $$2^n>n^3$$ при $$n\ge 10$$.