Упр.31.22 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Так как $$-1 \le \sin x \le 1$$ и $$-1 \le \cos x \le 1,$$ то при $$n,k \ge 2$$ имеем

$$\sin^n x \le \sin^2 x,\qquad \cos^k x \le \cos^2 x.$$

Тогда

$$\sin^n x+\cos^k x \le \sin^2 x+\cos^2 x=1.$$

Следовательно, неравенство доказано.

б) При $$0<\alpha,\beta<1$$ и $$x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ выполняется

$$0\le \sin x\le 1,\qquad 0\le \cos x\le 1.$$

Для чисел из отрезка $$[0;1]$$ при уменьшении показателя степень увеличивается, поэтому

$$\sin^\alpha x\ge \sin^2 x,\qquad \cos^\beta x\ge \cos^2 x.$$

Значит,

$$\sin^\alpha x+\cos^\beta x \ge \sin^2 x+\cos^2 x=1.$$

Следовательно, неравенство доказано.