Упр.31.21 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Пусть $$x,y\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right).$$ Докажем по пунктам.

а)

$$\sin\frac{x+y}{2}\ge \frac{\sin x+\sin y}{2}.$$

Рассмотрим разность:

$$\sin\frac{x+y}{2}-\frac{\sin x+\sin y}{2} =\sin\frac{x+y}{2}-\frac{1}{2}\cdot 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$$

$$=\sin\frac{x+y}{2}\left(1-\cos\frac{x-y}{2}\right)\ge 0.$$

Так как на данном промежутке $$0<\frac{x+y}{2}<\frac{\pi}{2}$$ и $$-\frac{\pi}{4}<\frac{x-y}{2}<\frac{\pi}{4},$$ то

$$\sin\frac{x+y}{2}>0,\qquad 1-\cos\frac{x-y}{2}\ge 0.$$

Следовательно, неравенство доказано.

б)

$$\tg\frac{x+y}{2}\le \frac{\tg x+\tg y}{2}.$$

Преобразуем правую часть:

$$\frac{\tg x+\tg y}{2} =\frac{1}{2}\left(\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\sin y}{\cos y}\right) =\frac{\sin x\cos y+\sin y\cos x}{2\cos x\cos y} =\frac{\sin(x+y)}{2\cos x\cos y}.$$

Тогда

$$\frac{\tg x+\tg y}{2}-\tg\frac{x+y}{2} =\frac{\sin(x+y)}{2\cos x\cos y}-\frac{\sin\frac{x+y}{2}}{\cos\frac{x+y}{2}}.$$

Используем формулу $$\sin(x+y)=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x+y}{2}$$:

$$\frac{\tg x+\tg y}{2}-\tg\frac{x+y}{2} =\frac{\sin\frac{x+y}{2}}{\cos\frac{x+y}{2}} \left(\frac{\cos\frac{x+y}{2}}{\cos x\cos y}-1\right).$$

Далее

$$\cos x\cos y=\frac{\cos(x-y)+\cos(x+y)}{2}\le \frac{1+\cos(x+y)}{2}=\cos^2\frac{x+y}{2},$$

откуда

$$\frac{\cos\frac{x+y}{2}}{\cos x\cos y}\ge \frac{1}{\cos\frac{x+y}{2}}.$$

Следовательно,

$$\frac{\tg x+\tg y}{2}-\tg\frac{x+y}{2}\ge 0,$$

то есть

$$\tg\frac{x+y}{2}\le \frac{\tg x+\tg y}{2}.$$

в)

$$\cos\frac{x+y}{2}\ge \frac{\cos x+\cos y}{2}.$$

Рассмотрим разность:

$$\cos\frac{x+y}{2}-\frac{\cos x+\cos y}{2} =\cos\frac{x+y}{2}-\frac{1}{2}\cdot 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$$

$$=\cos\frac{x+y}{2}\left(1-\cos\frac{x-y}{2}\right)\ge 0.$$

Так как $$0<\frac{x+y}{2}<\frac{\pi}{2},$$ то $$\cos\frac{x+y}{2}>0,$$ а также $$1-\cos\frac{x-y}{2}\ge 0.$$ Значит, неравенство доказано.

г)

$$\ctg\frac{x+y}{2}\le \frac{\ctg x+\ctg y}{2}.$$

Преобразуем правую часть:

$$\frac{\ctg x+\ctg y}{2} =\frac{1}{2}\left(\frac{\cos x}{\sin x}+\frac{\cos y}{\sin y}\right) =\frac{\cos x\sin y+\cos y\sin x}{2\sin x\sin y} =\frac{\sin(x+y)}{2\sin x\sin y}.$$

Тогда

$$\frac{\ctg x+\ctg y}{2}-\ctg\frac{x+y}{2} =\frac{\sin(x+y)}{2\sin x\sin y}-\frac{\cos\frac{x+y}{2}}{\sin\frac{x+y}{2}}.$$

Используем $$\sin(x+y)=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x+y}{2}$$:

$$\frac{\ctg x+\ctg y}{2}-\ctg\frac{x+y}{2} =\frac{\cos\frac{x+y}{2}}{\sin\frac{x+y}{2}} \left(\frac{\sin\frac{x+y}{2}}{\sin x\sin y}-1\right).$$

Кроме того,

$$\sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}\le \frac{1-\cos(x+y)}{2}=\sin^2\frac{x+y}{2},$$

откуда

$$\frac{\sin\frac{x+y}{2}}{\sin x\sin y}\ge \frac{1}{\sin\frac{x+y}{2}}.$$

Следовательно,

$$\frac{\ctg x+\ctg y}{2}-\ctg\frac{x+y}{2}\ge 0,$$

то есть

$$\ctg\frac{x+y}{2}\le \frac{\ctg x+\ctg y}{2}.$$

Ответ: все четыре неравенства доказаны.