Упр.31.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Пусть $$A$$ и $$B$$ — углы треугольника, а $$C$$ — третий угол.

а)

Если треугольник тупоугольный, то $$0<A<90^\circ,$$ $$0<B<90^\circ,$$ $$90^\circ<C<180^\circ.$$ Тогда

$$\tg A>0,\quad \tg B>0,\quad \tg C<0.$$

Так как $$A+B+C=180^\circ,$$ то $$A+B=180^\circ-C.$$ Следовательно,

$$\tg(A+B)=\tg(180^\circ-C)=-\tg C>0.$$

По формуле суммы тангенсов

$$\tg(A+B)=\frac{\tg A+\tg B}{1-\tg A\cdot \tg B}.$$

Числитель $$\tg A+\tg B>0,$$ значит, чтобы дробь была положительной, знаменатель тоже должен быть положительным:

$$1-\tg A\cdot \tg B>0.$$

Отсюда

$$\tg A\cdot \tg B<1.$$

б)

Если треугольник остроугольный, то $$0<A<90^\circ,$$ $$0<B<90^\circ,$$ $$0<C<90^\circ.$$ Тогда

$$\tg A>0,\quad \tg B>0,\quad \tg C>0.$$

Снова имеем $$A+B=180^\circ-C,$$ поэтому

$$\tg(A+B)=\tg(180^\circ-C)=-\tg C<0.$$

По формуле

$$\tg(A+B)=\frac{\tg A+\tg B}{1-\tg A\cdot \tg B}.$$

Числитель положителен, а вся дробь отрицательна, значит знаменатель отрицателен:

$$1-\tg A\cdot \tg B<0.$$

Следовательно,

$$\tg A\cdot \tg B>1.$$

Ответ

а) $$\tg A\cdot \tg B<1$$; б) $$\tg A\cdot \tg B>1$$.