Упр.31.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Докажем неравенство:

$$\sqrt{\cos x}\le \sqrt{2}\cos\frac{x}{2}, \qquad x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).$$

Возведём обе части в квадрат. На данном промежутке $$\cos x>0$$ и $$\cos\frac{x}{2}>0$$, значит преобразование корректно:

$$\cos x\le 2\cos^2\frac{x}{2}.$$

Так как

$$\cos x=2\cos^2\frac{x}{2}-1,$$

то получаем

$$2\cos^2\frac{x}{2}-1\le 2\cos^2\frac{x}{2},$$

или

$$0\le 1.$$

Это верно. Следовательно, неравенство доказано.

б) Докажем неравенство:

$$\sqrt{\sin x}>\sqrt{2}\sin\frac{x}{2}, \qquad x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right).$$

Возведём обе части в квадрат. На данном промежутке $$\sin x>0$$ и $$\sin\frac{x}{2}>0$$, значит преобразование корректно:

$$\sin x>2\sin^2\frac{x}{2}.$$

Используем формулу

$$\sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}.$$

Тогда

$$2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}>2\sin^2\frac{x}{2},$$

или

$$\sin\frac{x}{2}\left(\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}\right)>0.$$

Так как $$0<\frac{x}{2}<\frac{\pi}{4},$$ то $$\cos\frac{x}{2}>\sin\frac{x}{2}$$, следовательно, неравенство верно. Значит, исходное неравенство доказано.

в) Докажем неравенство:

$$\sqrt{\cos x}\ge \cos x\ge \cos^2 x, \qquad x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).$$

На данном промежутке $$0<\cos x\le 1.$$

Тогда:

$$\sqrt{\cos x}\ge \cos x,$$

поскольку при $$0<a\le 1$$ выполняется $$\sqrt{a}\ge a$$;

и

$$\cos x\ge \cos^2 x,$$

поскольку при $$0<a\le 1$$ выполняется $$a\ge a^2$$.

Следовательно, неравенство доказано.

г) Докажем неравенство:

$$\sqrt{\sin x}\ge \sin x\ge \sin^2 x, \qquad x\in(0,\pi).$$

На данном промежутке $$0<\sin x\le 1.$$

Тогда:

$$\sqrt{\sin x}\ge \sin x,$$

так как при $$0<a\le 1$$ имеем $$\sqrt{a}\ge a$$;

и

$$\sin x\ge \sin^2 x,$$

так как при $$0<a\le 1$$ выполняется $$a\ge a^2$$.

Следовательно, неравенство доказано.