Упр.31.18 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что для любого натурального числа $$n\ge 2$$ выполняется неравенство:
   а) $$\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\dots+\sqrt{n}>n$$;
   б) $$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\dots+\frac{1}{2n}>\frac{1}{2}$$.

Так как $$\sqrt{1}=1,\quad \sqrt{2}>1,\quad \sqrt{3}>1,\quad \ldots,\quad \sqrt{n}>1,$$ то

$$\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{n}>1+1+1+\cdots+1=n.$$

Следовательно, неравенство в пункте а) доказано.

Для пункта б) заметим, что при $$n\ge 2$$ выполняется

$$n+1<2n,\quad n+2<2n,\quad \ldots,\quad 2n-1<2n.$$

Значит,

$$\frac{1}{n+1}>\frac{1}{2n},\quad \frac{1}{n+2}>\frac{1}{2n},\quad \ldots,\quad \frac{1}{2n}=\frac{1}{2n}.$$

Тогда

$$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\cdots+\frac{1}{2n}>\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+\cdots+\frac{1}{2n}.$$

Слагаемых справа ровно $$n$$, поэтому

$$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\cdots+\frac{1}{2n}>\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}.$$

Следовательно, неравенство в пункте б) доказано.

Ответ

а) $$\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{n}>n$$; б) $$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\cdots+\frac{1}{2n}>\frac{1}{2}.$$