Упр.31.17 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\ldots+\frac{1}{n^2}<1+\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\ldots+\frac{1}{(n-1)n}$$;

б) $$\frac{1^2}{1+1^4}+\frac{2^2}{1+2^4}+\frac{3^2}{1+3^4}+\ldots+\frac{10^2}{1+10^4}<1{,}9$$.

а) Для каждого слагаемого при $$k=2,3,\dots,n$$ имеем

$$\frac{1}{k^2}<\frac{1}{(k-1)k},$$

так как $$k^2>(k-1)k.$$ Кроме того,

$$\frac{1}{1^2}=1.$$

Складывая эти неравенства, получаем

$$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2} < 1+\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\cdots+\frac{1}{(n-1)n}.$$

Неравенство доказано.

б) Для каждого $$k=1,2,\dots,10$$

$$\frac{k^2}{1+k^4}<\frac{k^2}{k^4}=\frac{1}{k^2}.$$

Тогда

$$\frac{1^2}{1+1^4}+\frac{2^2}{1+2^4}+\frac{3^2}{1+3^4}+\cdots+\frac{10^2}{1+10^4} < \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{10^2}.$$

Оценим правую часть:

$$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{10^2} < 1+\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\cdots+\frac{1}{9\cdot10}.$$

Сумма телескопируется:

$$1+\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\cdots+\left(\frac19-\frac1{10}\right) =2-\frac1{10}=1{,}9.$$

Следовательно,

$$\frac{1^2}{1+1^4}+\frac{2^2}{1+2^4}+\frac{3^2}{1+3^4}+\cdots+\frac{10^2}{1+10^4}<1{,}9.$$

Неравенство доказано.