Упр.31.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Возведём обе части в квадрат:

$$\left(\sqrt{p+q}\right)^2 \le \left(\sqrt p+\sqrt q\right)^2$$

$$p+q \le p+2\sqrt{pq}+q$$

$$2\sqrt{pq}\ge 0.$$

Неравенство доказано.

б) Возведём обе части в квадрат:

$$\frac{p+q}{2}\ge \frac{\sqrt p+\sqrt q}{2}$$

$$\frac{p+q}{2}-\frac{\sqrt p+\sqrt q}{2}=\frac{p+q-2\sqrt{pq}}{4}=\frac{(\sqrt p-\sqrt q)^2}{4}\ge 0.$$

Следовательно,

$$\sqrt{\frac{p+q}{2}}\ge \frac{\sqrt p+\sqrt q}{2}.$$

Неравенство доказано.

в) Возведём обе части в квадрат:

$$\left(\sqrt{p+q+r}\right)^2 \le \left(\sqrt p+\sqrt q+\sqrt r\right)^2$$

$$p+q+r \le p+q+r+2\sqrt{pq}+2\sqrt{qr}+2\sqrt{pr}.$$

Так как

$$2\sqrt{pq}+2\sqrt{qr}+2\sqrt{pr}\ge 0,$$

то неравенство доказано.

г) Возведём обе части в квадрат:

$$\frac{p^2+q^2+r^2}{3}\ge \frac{p+q+r}{3}$$

$$3(p^2+q^2+r^2)\ge (p+q+r)^2$$

$$3p^2+3q^2+3r^2\ge p^2+q^2+r^2+2pq+2qr+2pr$$

$$2p^2+2q^2+2r^2-2pq-2qr-2pr\ge 0$$

$$\frac{(p-q)^2+(q-r)^2+(r-p)^2}{3}\ge 0.$$

Неравенство доказано.