Упр.31.15 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Во всех пунктах используем неравенство Коши:

1. При $$a>0,\ b>0,\ ab=1$$ имеем

   $$a+b\ge 2\sqrt{ab}=2.$$

   Так как $$ab=1,$$ то

   $$2=ab+1,$$

   значит,

   $$a+b\ge ab+1.$$

2. При $$a>0,\ b>0,\ c>0,\ abc=1$$ получаем

   $$a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}=3.$$

   Поскольку $$abc=1,$$ то

   $$3=abc+2,$$

   следовательно,

   $$a+b+c\ge 3.$$

3. При $$a>0,\ b>0,\ c>0,\ d>0,\ abcd=1$$ имеем

   $$a+b+c+d\ge 4\sqrt[4]{abcd}=4.$$

   Так как $$abcd=1,$$ то

   $$a+b+c+d\ge 4.$$

4. При $$a_1>0,\ a_2>0,\ a_3>0,\ a_4>0,\ a_5>0,\ a_1a_2a_3a_4a_5=1$$ получаем

   $$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5\ge 5\sqrt[5]{a_1a_2a_3a_4a_5}=5.$$

   Следовательно,

   $$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5\ge 5.$$