Упр.31.14 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) При $$a \ge 0,\; b \ge 0$$ имеем

$$a+b-2\sqrt{ab}=\left(\sqrt a-\sqrt b\right)^2 \ge 0.$$

Значит,

$$a+b \ge 2\sqrt{ab}.$$

Неравенство доказано.

б) При $$a \ge 0,\; b \ge 0,\; c \ge 0$$ получаем

$$2a+2b+2c-2\sqrt{ab}-2\sqrt{bc}-2\sqrt{ca}$$

$$=(a-2\sqrt{ab}+b)+(b-2\sqrt{bc}+c)+(c-2\sqrt{ca}+a)$$

$$=\left(\sqrt a-\sqrt b\right)^2+\left(\sqrt b-\sqrt c\right)^2+\left(\sqrt c-\sqrt a\right)^2 \ge 0.$$

Следовательно,

$$a+b+c \ge \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}.$$

Неравенство доказано.

в) По неравенству Коши

$$\left(c+a\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\ge 2\sqrt{ca}\cdot 2\sqrt{ab}\cdot 2\sqrt{bc}=8abc.$$

Неравенство доказано.

г) Так как $$a+b+c=1,$$ то

$$1-a=b+c,\quad 1-b=c+a,\quad 1-c=a+b.$$

Тогда

$$\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)=\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right).$$

По неравенству Коши

$$\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)\ge 2\sqrt{bc}\cdot 2\sqrt{ca}\cdot 2\sqrt{ab}=8abc.$$

Следовательно,

$$\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge 8abc.$$

Неравенство доказано.