Упр.31.13 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Преобразуем левую часть каждого неравенства к виду квадрата.

1. $$x^2+\frac{25}{4x^2}-5\ge 0,\qquad x\ne 0.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$x^2-5+\frac{25}{4x^2}\ge 0$$
   $$\frac{4x^4-20x^2+25}{4x^2}\ge 0$$
   $$\frac{(2x^2-5)^2}{4x^2}\ge 0.$$

   Так как числитель — квадрат, а знаменатель при $$x\ne 0$$ положителен, неравенство верно.

2. $$\frac{z^2+10}{\sqrt{z^2+9}}\ge 2.$$

   Перенесём $$2$$ в левую часть:

   $$\frac{z^2+10}{\sqrt{z^2+9}}-2\ge 0$$
   $$\frac{z^2+10-2\sqrt{z^2+9}}{\sqrt{z^2+9}}\ge 0.$$

   Так как $$\sqrt{z^2+9}>0$$, достаточно рассмотреть числитель:

   $$z^2+10-2\sqrt{z^2+9}=(\sqrt{z^2+9}-1)^2\ge 0.$$

   Следовательно, неравенство верно.

3. $$x^2y^2+\frac{z^2}{y^2}\ge 2xz,\qquad y\ne 0.$$

   Перенесём всё в левую часть:

   $$x^2y^2-2xz+\frac{z^2}{y^2}\ge 0$$
   $$\frac{x^2y^4-2xy^2z+z^2}{y^2}\ge 0$$
   $$\frac{(xy^2-z)^2}{y^2}\ge 0.$$

   Так как $$y\ne 0$$, знаменатель положителен, а числитель — квадрат. Значит, неравенство верно.

4. $$\frac{6\sqrt{c^2+3}}{c^2+12}\le 1.$$

   Перенесём $$1$$ в левую часть:

   $$1-\frac{6\sqrt{c^2+3}}{c^2+12}\ge 0$$
   $$\frac{c^2+12-6\sqrt{c^2+3}}{c^2+12}\ge 0.$$

   Так как $$c^2+12>0$$, достаточно преобразовать числитель:

   $$c^2+12-6\sqrt{c^2+3}=(\sqrt{c^2+3}-3)^2\ge 0.$$

   Следовательно, неравенство верно.

Ответ: все четыре неравенства верны.