Упр.31.12 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

$$a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq 6a^2b^2c^2$$

Пусть $$x=a^2b^2c,\quad y=b^2c^2a,\quad z=c^2a^2b.$$ Тогда

$$a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$$

$$=a^2b^2(a^2c^2+1)+b^2c^2(a^2b^2+1)+c^2a^2(b^2c^2+1).$$

По неравенству Коши для каждого слагаемого имеем

$$a^2b^2(a^2c^2+1)\ge 2a^3b^2c,$$

$$b^2c^2(a^2b^2+1)\ge 2ab^3c^2,$$

$$c^2a^2(b^2c^2+1)\ge 2a^2bc^3.$$

Складывая, получаем

$$a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \ge 2abc(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2).$$

Теперь применим неравенство Коши в обобщённом виде:

$$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \ge 3\sqrt[3]{a^2b^2\cdot b^2c^2\cdot c^2a^2}=3a^{4/3}b^{4/3}c^{4/3}.$$

Удобнее записать это сразу для произведения:

$$2abc(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\ge 2abc\cdot 3\sqrt[3]{a^4b^4c^4}=6a^2b^2c^2.$$

Следовательно,

$$a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge 6a^2b^2c^2.$$

Ответ

$$a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge 6a^2b^2c^2.$$