Упр.31.11 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\left(x^2+y^2\right)\left(x^2y^2+1\right)\geq 4x^2y^2$$;
б) $$\left(a^4+b^4\right)\left(a^4b^4+1\right)\left(a^2b^6+a^6b^2\right)\geq 8a^8b^8$$.

а) Рассмотрим два неравенства:

$$x^2+y^2\ge 2xy,$$

так как $$\left(x-y\right)^2\ge 0,$$ и

$$x^2y^2+1\ge 2xy,$$

так как $$\left(xy-1\right)^2\ge 0.$$

Перемножим их:

$$\left(x^2+y^2\right)\left(x^2y^2+1\right)\ge 2xy\cdot 2xy=4x^2y^2.$$

Неравенство доказано.

Ответ

$$\left(x^2+y^2\right)\left(x^2y^2+1\right)\ge 4x^2y^2.$$

б) Используем неравенство Коши:

$$a^4+b^4\ge 2a^2b^2,$$

$$a^4b^4+1\ge 2a^2b^2,$$

$$a^2b^6+a^6b^2=a^2b^2\left(b^4+a^4\right)\ge 2a^4b^4.$$

Перемножая эти неравенства, получаем:

$$\left(a^4+b^4\right)\left(a^4b^4+1\right)\left(a^2b^6+a^6b^2\right)\ge 2a^2b^2\cdot 2a^2b^2\cdot 2a^4b^4=8a^8b^8.$$

Неравенство доказано.

Ответ

$$\left(a^4+b^4\right)\left(a^4b^4+1\right)\left(a^2b^6+a^6b^2\right)\ge 8a^8b^8.$$