Упр.31.10 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) При $$x \ne 0$$ имеем:

$$x^2+\frac{1}{x^2}\ge 2$$
$$x^2-2+\frac{1}{x^2}\ge 0$$
$$\frac{x^4-2x^2+1}{x^2}\ge 0$$
$$\frac{(x^2-1)^2}{x^2}\ge 0$$

Так как числитель — квадрат, а знаменатель при $$x \ne 0$$ положителен, неравенство верно.

б) При всех допустимых $$a$$:

$$\frac{a^4}{1+a^8}\le \frac12$$
$$\frac12-\frac{a^4}{1+a^8}\ge 0$$
$$\frac{1+a^8-2a^4}{2(1+a^8)}\ge 0$$
$$\frac{a^8-2a^4+1}{2(1+a^8)}\ge 0$$
$$\frac{(a^4-1)^2}{2(1+a^8)}\ge 0$$

Так как числитель — квадрат, а знаменатель положителен, неравенство верно.

Ответ: оба неравенства верны.