Упр.31.1 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Из равенства $$a+6=b-5$$ получаем

$$a-b=-11,$$

значит, $$a<b.$$

б) Преобразуем уравнение:

$$a^3-a^2(b+1)+a=b$$

$$a^3-a^2b-a^2+a=b$$

$$a^3-a^2+a=b+a^2b$$

$$b(a^2+1)=a^3-a^2+a$$

$$b=\frac{a^3-a^2+a}{a^2+1}.$$

Тогда

$$b-a=\frac{a^3-a^2+a-a(a^2+1)}{a^2+1}=\frac{-a^2}{a^2+1}\le 0.$$

Следовательно, $$b\le a,$$ то есть $$a\ge b.$$

в) Так как $$a\ne 0$$ и $$b\ne 0,$$ умножим равенство

$$b-\frac{b^2}{a}=-\frac{b}{a}$$

на $$a$$:

$$ab-b^2=-b.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$b(a-b+1)=0.$$

Так как $$b\ne 0,$$ то

$$a-b+1=0,$$

откуда

$$a-b=-1,$$

значит, $$a<b.$$

г) Преобразуем левую и правую части:

$$\frac{1}{a^2+1}=\frac{b}{a^3+a^2+a+1}=\frac{b}{(a^2+1)(a+1)}.$$

Умножим на $$a^2+1$$:

$$1=\frac{b}{a+1},$$

откуда

$$b=a+1.$$

Следовательно, $$a-b=-1,$$ значит, $$a<b.$$

Ответ: а) $$a<b$$; б) $$a\ge b$$; в) $$a<b$$; г) $$a<b$$.