Упр.30.9 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- 30.9. Решите уравнение:
а) $$\sqrt{\sin x}=\sqrt{\cos x}$$;
в) $$\sqrt{2-\sqrt{3}\sin 2x}=\sqrt{\cos 2x}$$;
б) $$\sqrt{2-\operatorname{tg}x}=\sqrt{\operatorname{ctg}x}$$;
г) $$\sqrt{\operatorname{tg}x}=\sqrt{\operatorname{ctg}x}$$.
а) $$\sqrt{\sin x}=\sqrt{\cos x}$$
Так как корни равны, то при существовании выражений имеем
$$\sin x=\cos x.$$
Тогда
$$\tg x=1,$$
откуда
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Проверим область определения: $$\sin x\ge 0,\ \cos x\ge 0.$$
При $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$ оба условия выполняются только при чётных $$n$$, то есть
$$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
б) $$\sqrt{2-\tg x}=\sqrt{\ctg x}$$
Тогда
$$2-\tg x=\ctg x.$$
Умножим на $$\tg x$$:
$$2\tg x-\tg^2 x=1.$$
Получаем квадратное уравнение:
$$\tg^2 x-2\tg x+1=0,$$
$$\left(\tg x-1\right)^2=0,$$
$$\tg x=1.$$
Следовательно,
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Проверка области определения: $$\ctg x\ge 0.$$
При $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$ это условие выполняется, значит
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
в) $$\sqrt{2-\sqrt3\sin 2x}=\sqrt{\cos 2x}$$
Тогда
$$2-\sqrt3\sin 2x=\cos 2x.$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$\cos 2x+\sqrt3\sin 2x=2.$$
Разделим на $$2$$:
$$\frac12\cos 2x+\frac{\sqrt3}{2}\sin 2x=1.$$
Левая часть равна
$$\sin\left(\frac{\pi}{6}+2x\right),$$
значит
$$\sin\left(\frac{\pi}{6}+2x\right)=1.$$
Отсюда
$$\frac{\pi}{6}+2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$
$$2x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Проверка области определения: $$\cos 2x\ge 0.$$
При найденных значениях это условие выполняется, значит
$$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
г) $$\sqrt{\tg x}=\sqrt{\ctg x}$$
Тогда
$$\tg x=\ctg x.$$
Умножим на $$\tg x$$:
$$\tg^2 x=1,$$
откуда
$$\tg x=\pm 1.$$
Но из области определения нужно $$\tg x\ge 0$$ и $$\ctg x\ge 0$$, значит подходит только
$$\tg x=1.$$
Следовательно,
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; б) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; в) $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; г) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.
