Упр.30.8 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$\sqrt{x-2}=\sqrt{4-x}$$;
   б) $$\sqrt{x^3-2x^2+1}=\sqrt{x^3+x^2-8x-2}$$;
   в) $$\sqrt{25-x^2}=\sqrt{5x-11}$$;
   г) $$\sqrt{x^3-x^2}=\sqrt{2-x-x^2}$$.

а) $$\sqrt{x-2}=\sqrt{4-x}$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x-2=4-x$$

$$2x=6$$

$$x=3$$

Проверим область определения:

$$x-2\ge 0,\quad 4-x\ge 0$$

$$2\le x\le 4$$

Число $$3$$ подходит.

б) $$\sqrt{x^3-2x^2+1}=\sqrt{x^3+x^2-8x-2}$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x^3-2x^2+1=x^3+x^2-8x-2$$

$$3x^2-8x-3=0$$

$$D=64+36=100$$

$$x_{1,2}=\frac{8\pm 10}{6}$$

$$x_1=3,\quad x_2=-\frac13$$

Проверим область определения:

$$x^3-2x^2+1=(x-1)(x^2-x-1)\ge 0$$

Отсюда

$$x\in\left[\frac{1-\sqrt5}{2},\,1\right]\cup\left[\frac{1+\sqrt5}{2},\,+\infty\right)$$

Оба корня принадлежат области определения, значит они подходят.

в) $$\sqrt{25-x^2}=\sqrt{5x-11}$$

Возведём обе части в квадрат:

$$25-x^2=5x-11$$

$$x^2+5x-36=0$$

$$D=25+144=169$$

$$x_{1,2}=\frac{-5\pm 13}{2}$$

$$x_1=-9,\quad x_2=4$$

Проверим область определения:

$$25-x^2\ge 0,\quad 5x-11\ge 0$$

$$-5\le x\le 5,\quad x\ge \frac{11}{5}$$

Следовательно, $$x\in\left[\frac{11}{5},\,5\right]$$. Подходит только $$x=4$$.

г) $$\sqrt{x^3-x^2}=\sqrt{2-x-x^2}$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x^3-x^2=2-x-x^2$$

$$x^3+x-2=0$$

$$x^3+x-2=(x-1)(x^2+x+2)=0$$

Так как $$D=1-8=-7<0$$, то у квадратного множителя действительных корней нет. Значит,

$$x=1$$

Проверим область определения:

$$x^3-x^2\ge 0,\quad 2-x-x^2\ge 0$$

При $$x=1$$ обе подкоренные величины равны нулю, значит корень подходит.

Ответ: а) $$3$$; б) $$-\frac13,\ 3$$; в) $$4$$; г) $$1$$.