Упр.30.65 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

$$\sqrt{2ax-x^2}\ge a-x,\qquad a\ge 0.$$

Чтобы избавиться от корня, рассмотрим два неравенства:

$$\begin{cases} 2ax-x^2\ge 0,\\ a-x\le 0 \end{cases} \qquad \text{или} \qquad \begin{cases} 2ax-x^2\ge (a-x)^2,\\ a-x\ge 0. \end{cases}$$

Из первого получаем:

$$2ax-x^2\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; x(2a-x)\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; 0\le x\le 2a.$$

Из второго:

$$a-x\le 0 \;\Longleftrightarrow\; x\ge a.$$

Тогда решения исходного неравенства должны удовлетворять системе

$$a\le x\le 2a.$$

Теперь найдём, при каких $$a$$ на отрезке $$\left[a,\;2a\right]$$ помещается отрезок длины $$2+\sqrt2.$$

Из преобразований для границ получаем:

$$a-\frac{a\sqrt2}{2}\le x\le a+\frac{a\sqrt2}{2}.$$

Чтобы этот отрезок содержал два отрезка длины $$\frac{2+\sqrt2}{2}$$, нужно, чтобы

$$2a-\left(a-\frac{a\sqrt2}{2}\right)>2\cdot\frac{2+\sqrt2}{2}.$$

Отсюда

$$a+\frac{a\sqrt2}{2}>2+\sqrt2,$$

$$a\left(1+\frac{\sqrt2}{2}\right)>2+\sqrt2,$$

$$a(2+\sqrt2)>2(2+\sqrt2),$$

$$a>2.$$

Ответ

$$a>2.$$