Упр.30.64 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Пусть $$t=x^2-4x+5.$$ Тогда $$t\ge 1,$$ и исходное уравнение принимает вид

$$\frac{1}{\sqrt{t}}+\frac{2}{\sqrt{t+24}}=\frac{7}{5}.$$

Перенесём второе слагаемое вправо:

$$\frac{1}{\sqrt{t}}=\frac{7}{5}-\frac{2}{\sqrt{t+24}}.$$

Рассмотрим функции

$$f(t)=\frac{1}{\sqrt{t}}, \qquad g(t)=\frac{7}{5}-\frac{2}{\sqrt{t+24}}.$$

На промежутке $$[1;+\infty)$$ функция $$f(t)$$ убывает, а функция $$g(t)$$ возрастает. Значит, равенство возможно только при одном значении $$t$$. Проверим $$t=1$$:

$$f(1)=\frac{1}{\sqrt{1}}=1,$$

$$g(1)=\frac{7}{5}-\frac{2}{\sqrt{25}}=\frac{7}{5}-\frac{2}{5}=1.$$

Следовательно, $$t=1.$$ Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$x^2-4x+5=1,$$

$$x^2-4x+4=0,$$

$$\left(x-2\right)^2=0,$$

$$x=2.$$

Ответ: $$2$$.