Упр.30.63 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\sqrt{1-\tg x}=-\frac{1}{\cos x}.$$

Так как левая часть неотрицательна, то правая тоже должна быть неотрицательной, значит $$-\frac{1}{\cos x}\ge 0,$$ откуда $$\cos x<0.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$1-\tg x=\frac{1}{\cos^2 x}.$$

Преобразуем:

$$1-\tg x=\frac{1}{\cos^2 x} \\\\ -\tg x=\frac{1}{\cos^2 x}-1 \\\\ -\tg x=\frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x} \\\\ -\tg x=\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}=\tg^2 x.$$

Тогда

$$\tg^2 x+\tg x=0 \\\\ \tg x(\tg x+1)=0.$$

Отсюда

$$\tg x=0 \quad \text{или} \quad \tg x=-1.$$

С учётом условия $$\cos x<0$$ получаем:

$$x=\pi+2\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$\sqrt{4+\ctg x}-\frac{2}{\sin x}=0.$$

Перенесём дробь вправо:

$$\sqrt{4+\ctg x}=\frac{2}{\sin x}.$$

Так как левая часть неотрицательна, то

$$\frac{2}{\sin x}\ge 0 \quad \Rightarrow \quad \sin x>0.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$4+\ctg x=\frac{4}{\sin^2 x}.$$

Преобразуем:

$$\ctg x=\frac{4}{\sin^2 x}-4 \\\\ \ctg x=\frac{4-4\sin^2 x}{\sin^2 x} \\\\ \ctg x=\frac{4\cos^2 x}{\sin^2 x}=4\ctg^2 x.$$

Тогда

$$4\ctg^2 x-\ctg x=0 \\\\ \ctg x(4\ctg x-1)=0.$$

Отсюда

$$\ctg x=0 \quad \text{или} \quad \ctg x=\frac14.$$

С учётом условия $$\sin x>0$$ получаем:

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\operatorname{arcctg}\frac14+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; x=\pi+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; x=\operatorname{arcctg}\frac14+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$