Упр.30.62 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Решите неравенство:
а) $$\sqrt{x+3}\ge\frac{x+3}{x+1}$$;
в) $$\sqrt{x+2}\ge x+2a$$;
б) $$\sqrt{x+2}>\frac{4-x}{x-1}$$;
г) $$\sqrt{2x+3}<\frac{2x}{1-x}$$.
Рассмотрим каждое неравенство по отдельности.
а)
$$\sqrt{x+3}\ge \frac{x+3}{x+1}$$
Область определения: $$x+3\ge 0,\quad x\ne -1.$$
Рассмотрим два случая.
1) $$\frac{x+3}{x+1}\le 0.$$ Тогда при $$x+3\ge 0$$ получаем
$$-3\le x<-1.$$
2) $$\frac{x+3}{x+1}\ge 0.$$ Тогда можно возвести обе части в квадрат:
$$x+3\ge \frac{(x+3)^2}{(x+1)^2}.$$
После преобразований:
$$\frac{(x+3)(x+1)^2-(x+3)^2}{(x+1)^2}\ge 0$$
$$\frac{(x+3)(x^2+x-2)}{(x+1)^2}\ge 0$$
$$\frac{(x+3)(x+2)(x-1)}{(x+1)^2}\ge 0.$$
Отсюда
$$x\in[-3;-2]\cup[1;+\infty).$$
Объединяя с первым случаем, получаем
$$x\in[-3;-1)\cup[1;+\infty).$$
б)
$$\sqrt{x+2}>\frac{4-x}{x-1}$$
Область определения: $$x+2\ge 0,\quad x\ne 1.$$
Рассмотрим два случая.
1) $$\frac{4-x}{x-1}<0.$$ Тогда
$$-2\le x<1,\quad x>4.$$
С учётом ОДЗ остаётся
$$-2\le x<1.$$
2) $$\frac{4-x}{x-1}\ge 0.$$ Тогда можно возвести обе части в квадрат:
$$x+2>\frac{(4-x)^2}{(x-1)^2}.$$
После преобразований:
$$\frac{(x+2)(x-1)^2-(4-x)^2}{(x-1)^2}>0$$
$$\frac{x^3-x^2+5x-14}{(x-1)^2}>0$$
$$\frac{(x-2)(x^2+x+7)}{(x-1)^2}>0.$$
Так как $$x^2+x+7>0$$ при всех $$x$$, получаем
$$x>2.$$
С учётом условия $$\frac{4-x}{x-1}\ge 0$$ имеем
$$2<x\le 4.$$
Итак, ответ:
$$x\in[-2;1)\cup(2;+\infty).$$
в)
$$\sqrt{x+4}\le \frac{x+4}{x+2}$$
Область определения: $$x+4\ge 0,\quad x\ne -2.$$
Рассмотрим два случая.
1) $$\frac{x+4}{x+2}\ge 0.$$ Тогда можно возвести обе части в квадрат:
$$x+4\le \frac{(x+4)^2}{(x+2)^2}.$$
После преобразований:
$$\frac{(x+4)(x+2)^2-(x+4)^2}{(x+2)^2}\le 0$$
$$\frac{(x+4)(x^2+4x+4-x-4)}{(x+2)^2}\le 0$$
$$\frac{(x+4)(x+3)x}{(x+2)^2}\le 0.$$
Отсюда
$$x\le -4,\quad -3\le x\le 0,\quad x\ne -2.$$
2) $$\frac{x+4}{x+2}\le 0.$$ Тогда
$$x\in[-4;-2).$$
Объединяя результаты, получаем
$$x\in\{-4\}\cup(-2;0].$$
г)
$$\sqrt{2x+3}<\frac{2x}{1-x}$$
Область определения: $$2x+3\ge 0,\quad x\ne 1.$$
Рассмотрим два случая.
1) $$\frac{2x}{1-x}\le 0.$$ Тогда
$$x\ge 0,\quad x>1.$$
С учётом ОДЗ получаем
$$x>1.$$
2) $$\frac{2x}{1-x}>0.$$ Тогда можно возвести обе части в квадрат:
$$2x+3<\frac{4x^2}{(1-x)^2}.$$
После преобразований:
$$\frac{(2x+3)(1-x)^2-4x^2}{(1-x)^2}<0$$
$$\frac{2x^3-5x^2-4x+3}{(x-1)^2}<0$$
$$\frac{(x+1)(2x^2-7x+3)}{(x-1)^2}<0$$
$$\frac{(x+1)(2x-1)(x-3)}{(x-1)^2}<0.$$
С учётом условия $$\frac{2x}{1-x}>0$$ получаем
$$0<x<1.$$
Итак, ответ:
$$x\in(0;1).$$
Ответ
а) $$x\in[-3;-1)\cup[1;+\infty)$$; б) $$x\in[-2;1)\cup(2;+\infty)$$; в) $$x\in\{-4\}\cup(-2;0]$$; г) $$x\in(0;1).$$
