Упр.30.61 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Для каждого значения параметра $$a$$ решите неравенство: а) $$\sqrt{x-a}<1-x$$; б) $$\sqrt{x+2}\geq x+2a$$.

а) Рассмотрим неравенство $$\sqrt{x-a}<1-x.$$

Область определения: $$x-a\ge 0,\quad x\ge a.$$

Так как правая часть должна быть положительной, получаем $$1-x>0,\quad x<1.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x-a<(1-x)^2,$$

$$x-a<1-2x+x^2,$$

$$x^2-3x+a+1>0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=9-4(a+1)=5-4a,$$

$$x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{5-4a}}{2}.$$

Тогда

$$x<\frac{3-\sqrt{5-4a}}{2}\quad \text{или}\quad x>\frac{3+\sqrt{5-4a}}{2}.$$

С учётом условий $$x\ge a$$ и $$x<1$$ получаем:

если $$a<1,$$ то

$$x\in\left[a;\,\frac{3-\sqrt{5-4a}}{2}\right);$$

если $$a\ge 1,$$ то решений нет.

б) Рассмотрим неравенство $$\sqrt{x+2}\ge x+2a.$$

Область определения: $$x+2\ge 0,\quad x\ge -2.$$

Если $$x+2a\le 0,$$ то неравенство выполняется автоматически при $$x\ge -2.$$ Тогда нужно, чтобы

$$x\le -2a.$$

Значит, при $$a<1$$ получаем промежуток $$-2\le x\le -2a.$$

Если же $$x+2a>0,$$ возведём обе части в квадрат:

$$x+2\ge (x+2a)^2,$$

$$x+2\ge x^2+4ax+4a^2,$$

$$x^2+(4a-1)x+4a^2-2\le 0.$$

Найдём корни:

$$D=(4a-1)^2-4(4a^2-2)=9-8a,$$

$$x_{1,2}=\frac{1-4a\pm\sqrt{9-8a}}{2}.$$

Если $$a>\frac98,$$ то решений нет.

Если $$a=\frac98,$$ то

$$x=\frac{1-4\cdot \frac98}{2}=-\frac74.$$

Если $$a<\frac98,$$ то

$$\frac{1-4a-\sqrt{9-8a}}{2}\le x\le \frac{1-4a+\sqrt{9-8a}}{2}.$$

С учётом условия $$x\ge -2$$ и сравнения с точкой $$x=-2a$$ получаем:

если $$a<1,$$ то

$$x\in\left[-2;\,\frac{1-4a+\sqrt{9-8a}}{2}\right];$$

если $$1\le a<\frac98,$$ то

$$x\in\left[\frac{1-4a-\sqrt{9-8a}}{2};\,\frac{1-4a+\sqrt{9-8a}}{2}\right];$$

если $$a=\frac98,$$ то $$x=-\frac74;$$

если $$a>\frac98,$$ то решений нет.

Ответ

а) если $$a<1,$$ то $$x\in\left[a;\,\frac{3-\sqrt{5-4a}}{2}\right);$$ если $$a\ge 1,$$ то решений нет.

б) если $$a<1,$$ то $$x\in\left[-2;\,\frac{1-4a+\sqrt{9-8a}}{2}\right];$$ если $$1\le a<\frac98,$$ то $$x\in\left[\frac{1-4a-\sqrt{9-8a}}{2};\,\frac{1-4a+\sqrt{9-8a}}{2}\right];$$ если $$a=\frac98,$$ то $$x=-\frac74;$$ если $$a>\frac98,$$ то решений нет.