Упр.30.60 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
$$\frac{1}{\sqrt{x+1}-1}+\frac{2}{\sqrt{2x+3}-\sqrt{3}}+\frac{3}{\sqrt{3x+7}-\sqrt{7}}>\frac{10+\sqrt{3}+\sqrt{7}}{x}$$
Преобразуем левую часть:
$$\frac{1}{\sqrt{x+1}-1}+\frac{2}{\sqrt{2x+3}-\sqrt3}+\frac{3}{\sqrt{3x+7}-\sqrt7} = \frac{\sqrt{x+1}+1}{x} +\frac{\sqrt{2x+3}+\sqrt3}{x} +\frac{\sqrt{3x+7}+\sqrt7}{x}.$$
Тогда неравенство равносильно
$$\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}+\sqrt{3x+7}}{x}>\frac{9}{x}.$$
Рассмотрим случаи.
Если $$x>0,$$ то можно умножить неравенство на $$x$$ без изменения знака:
$$\sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}+\sqrt{3x+7}>9.$$
Функция $$f(x)=\sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}+\sqrt{3x+7}$$ возрастает на области определения. При $$x=3$$ имеем
$$f(3)=\sqrt4+\sqrt9+\sqrt{16}=2+3+4=9.$$
Значит, при $$x>0$$ неравенство выполняется тогда и только тогда, когда $$x>3.$$
Если $$x<0,$$ то при умножении на $$x$$ знак неравенства меняется:
$$\sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}+\sqrt{3x+7}<9.$$
На области определения функция $$f(x)$$ возрастает, поэтому при $$x<3$$ это неравенство выполняется. С учётом области определения получаем
$$x\in[-1,0).$$
Область определения исходного выражения:
$$x+1\ge 0,\quad 2x+3\ge 0,\quad 3x+7\ge 0,\quad x\ne 0,$$
откуда $$x\ge -1$$ и $$x\ne 0.$$
Ответ: $$x\in[-1,0)\cup(3,+\infty).$$
