Упр.30.6 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Найдите все действительные значения $$a$$, при каждом из которых уравнение имеет хотя бы один действительный корень:
а) $$\sqrt{x-4}=2-a$$;
в) $$\sqrt{16-x^2}=a+1$$;
б) $$\sqrt[5]{x^2-2x-7}=1-a$$;
г) $$\sqrt[5]{1-4x-x^2}=a$$.

Подробный ответ

Рассмотрим каждое уравнение отдельно и найдём такие значения $$a,$$ при которых у него есть хотя бы один действительный корень.

$$\sqrt{x-4}=2-a.$$
Левая часть неотрицательна, значит и правая должна быть неотрицательной:
$$2-a\ge 0,$$
откуда
$$a\le 2.$$
$$\sqrt[5]{x^2-2x-7}=1-a.$$
Функция $$\sqrt[5]{t}$$ принимает любые действительные значения, но для существования корня достаточно, чтобы правая часть совпадала с каким-либо значением левой части. Найдём наименьшее значение выражения под корнем:
$$x^2-2x-7=(x-1)^2-8\ge -8.$$
Значит,
$$\sqrt[5]{x^2-2x-7}\ge \sqrt[5]{-8}=-\sqrt[5]{8}.$$
Чтобы уравнение имело решение, нужно
$$1-a\ge -\sqrt[5]{8},$$
то есть
$$a\le 1+\sqrt[5]{8}.$$
$$\sqrt{16-x^2}=a+1.$$
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$$16-x^2\ge 0,$$
поэтому
$$0\le \sqrt{16-x^2}\le 4.$$
Следовательно, правая часть тоже должна лежать в этом промежутке:
$$0\le a+1\le 4.$$
Отсюда
$$-1\le a\le 3.$$
$$\sqrt[5]{1-4x-x^2}=a.$$
Рассмотрим выражение под корнем:
$$1-4x-x^2=5-(x+2)^2\le 5.$$
Значит,
$$\sqrt[5]{1-4x-x^2}\le \sqrt[5]{5}.$$
Так как корень пятой степени определён при любых действительных значениях подкоренного выражения, то уравнение имеет решение при
$$a\le \sqrt[5]{5}.$$