Упр.30.59 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Рассмотрим функции

$$f(x)=\sqrt{x+\frac78}+\sqrt{8x+3}+2\sqrt[3]{x}, \qquad g(x)=6-16x.$$

Область определения: $$x+\frac78\ge 0,\quad 8x+3\ge 0,$$ значит $$x\ge -\frac38.$$

На промежутке $$\left[-\frac38;+\infty\right)$$ функция $$f(x)$$ возрастает, а функция $$g(x)$$ убывает. Поэтому уравнение $$f(x)=g(x)$$ имеет не более одного решения.

Проверим точку $$x=\frac18$$:

$$f\!\left(\frac18\right)=\sqrt{\frac18+\frac78}+\sqrt{8\cdot\frac18+3}+2\sqrt[3]{\frac18} =\sqrt1+\sqrt4+2\cdot\frac12=1+2+1=4,$$

$$g\!\left(\frac18\right)=6-16\cdot\frac18=6-2=4.$$

Значит, $$x=\frac18$$ — единственная точка равенства, и для неравенства $$f(x)<g(x)$$ получаем

$$x\in\left[-\frac38;\frac18\right).$$

б) Рассмотрим функции

$$f(x)=\sqrt{3x+1}+5\sqrt[3]{x}, \qquad g(x)=12-x-\sqrt{17-x}.$$

Область определения:

$$3x+1\ge 0,\quad 17-x\ge 0,$$

то есть $$x\in\left[-\frac13;17\right].$$

На этом промежутке $$f(x)$$ возрастает, а $$g(x)$$ убывает, поэтому точка пересечения одна.

Проверим $$x=1$$:

$$f(1)=\sqrt{3\cdot1+1}+5\sqrt[3]{1}=\sqrt4+5=2+5=7,$$

$$g(1)=12-1-\sqrt{17-1}=11-4=7.$$

Следовательно, $$x=1$$ — единственное решение неравенства $$f(x)>g(x)$$, и

$$x\in(1;17].$$

в) Для неравенства

$$\sqrt{x+\frac78}+\sqrt{8x+3}+2\sqrt[3]{x}\ge 6-16x$$

получаем ту же область определения $$x\ge -\frac38$$. Так как $$f(x)$$ возрастает, а $$g(x)$$ убывает, и они равны при $$x=\frac18$$, то

$$x\in\left[\frac18;+\infty\right).$$

г) Для неравенства

$$\sqrt{3x+1}+5\sqrt[3]{x}\le 12-x-\sqrt{17-x}$$

область определения: $$x\in\left[-\frac13;17\right].$$

Функции $$f(x)$$ и $$g(x)$$ монотонны, а равенство достигается при $$x=1$$, значит

$$x\in\left[-\frac13;1\right].$$

Ответ

а) $$x\in\left[-\frac38;\frac18\right)$$; б) $$x\in(1;17]$$; в) $$x\in\left[\frac18;+\infty\right)$$; г) $$x\in\left[-\frac13;1\right].$$