Упр.30.58 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Рассмотрим функции $$f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{x+5}$$ и $$g(x)=9-x.$$

Область определения: $$x\ge 0.$$

На этой области функция $$f(x)$$ возрастает, а функция $$g(x)$$ убывает, значит, неравенство $$f(x)<g(x)$$ выполняется до точки их пересечения.

Найдём точку пересечения:

$$\sqrt{4}+\sqrt{4+5}=2+3=5, \qquad 9-4=5.$$

Следовательно, при $$x<4$$ левая часть меньше правой.

Ответ: $$x\in[0;4).$$

б) Рассмотрим функции $$f(x)=3\sqrt{x+2}+5\sqrt{3x+10}$$ и $$g(x)=30-2x.$$

Область определения: $$x\ge -2.$$

На этой области функция $$f(x)$$ возрастает, а функция $$g(x)$$ убывает, значит, неравенство $$f(x)>g(x)$$ выполняется после точки их пересечения.

Найдём точку пересечения:

$$3\sqrt{2+2}+5\sqrt{3\cdot 2+10}=3\cdot 2+5\cdot 4=6+20=26,$$

$$30-2\cdot 2=26.$$

Следовательно, при $$x>2$$ неравенство верно.

Ответ: $$x\in(2;+\infty).$$

в) Рассмотрим функции $$f(x)=\sqrt{-x}+\sqrt{7-x}$$ и $$g(x)=x+16.$$

Область определения: $$x\le 0.$$

На этой области функция $$f(x)$$ убывает, а функция $$g(x)$$ возрастает, значит, неравенство $$f(x)\le g(x)$$ выполняется до точки их пересечения включительно.

Найдём точку пересечения:

$$\sqrt{9}+\sqrt{7+9}=3+4=7, \qquad -9+16=7.$$

Следовательно, решение:

Ответ: $$x\in[-9;0].$$

г) Рассмотрим функции $$f(x)=\sqrt{2-x}+3\sqrt{10-3x}$$ и $$g(x)=2x+18.$$

Область определения: $$x\le 2.$$

На этой области функция $$f(x)$$ убывает, а функция $$g(x)$$ возрастает, значит, неравенство $$f(x)\le g(x)$$ выполняется до точки их пересечения включительно.

Найдём точку пересечения:

$$\sqrt{2-(-2)}+3\sqrt{10-3(-2)}= \sqrt{4}+3\sqrt{16}=2+12=14,$$

$$2\cdot(-2)+18=14.$$

Следовательно, решение:

Ответ: $$x\in[-2;2].$$