Упр.30.56 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\sqrt{-3x+12}<3x$$;
2. б) $$\sqrt{5+12\cdot5^x-25^x}>5^x-7$$;
3. в) $$\sqrt{7-0{,}2x}\leq0{,}2x-1$$;
4. г) $$5\sqrt{100^x-2}\geq4(x+1)\cdot25^x-14$$.

Пусть $$y=5^x,$$ тогда $$y>0.$$

Решаем неравенство

$$\sqrt{5+12\cdot 5^x-25^x}>5^x-7$$

в новой переменной:

$$\sqrt{5+12y-y^2}>y-7.$$

Так как левая часть неотрицательна, рассмотрим два условия:

$$\begin{cases} 5+12y-y^2\ge 0,\\ y-7<\sqrt{5+12y-y^2}. \end{cases}$$

Если $$y<7,$$ то правая часть отрицательна, и неравенство выполняется при условии существования корня:

$$5+12y-y^2\ge 0.$$

Решим квадратное неравенство:

$$5+12y-y^2\ge 0 \iff y^2-12y-5\le 0.$$

Найдём корни уравнения $$y^2-12y-5=0$$:

$$D=12^2+4\cdot 5=144+20=164,$$

$$y_{1,2}=\frac{12\pm\sqrt{164}}{2}=6\pm\sqrt{41}.$$

Тогда

$$6-\sqrt{41}\le y\le 6+\sqrt{41}.$$

С учётом $$y>0$$ и $$y<7$$ получаем

$$0<y<7.$$

Теперь учтём, что $$y=5^x,$$ значит

$$0<5^x<7.$$

Так как $$5^x>0$$ при любом $$x,$$ остаётся

$$5^x<7 \iff x<\log_5 7.$$

Проверим, что при $$0<y<7$$ условие подкоренного выражения выполняется, и получаем итог:

$$x<\log_5 11.$$

Следовательно,

$$x\in(-\infty;\log_5 11).$$

Ответ

$$x\in(-\infty;\log_5 11).$$